% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% The Project Gutenberg EBook of Mémoire sur les équations résolubles     %
% algébriquement, by M. Despeyrous                                        %
%                                                                         %
% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
% with this eBook or online at www.gutenberg.org                          %
%                                                                         %
%                                                                         %
% Title: Mémoire sur les équations résolubles algébriquement              %
%                                                                         %
% Author: M. Despeyrous                                                   %
%                                                                         %
% Release Date: July 24, 2008 [EBook #26118]                              %
%                                                                         %
% Language: French                                                        %
%                                                                         %
% Character set encoding: ISO-8859-1                                      %
%                                                                         %
% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS *** %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\def\ebook{26118}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%                                                                       %%
%% Packages and substitutions:                                           %%
%%                                                                       %%
%% memoir:   Advanced book class. Required.                              %%
%% amsmath:  AMS mathematics enhancements. Required.                     %%
%% amsthm:   AMS configurable theorems. Required.                        %%
%% inputenc: Enable Latin1 input.                                        %%
%%           Could be dispensed with by changing all                     %%
%%           ISO-8859-1-specific characters.                             %%
%% babel:    Allow multilingual hyphenation and typesetting conventions. %%
%%           Required.                                                   %%
%% fontenc:  Use T1 font encoding to allow hyphenation of words          %%
%%           containing accented characters. Will only be used if the    %%
%%           lmodern package is detected.                                %%
%% lmodern:  Use the Type 1 Latin Modern fonts instead of the default    %%
%%           bitmaps for the EC fonts. If not present, code reverts      %%
%%           to ordinary OT1 Computer Modern and suppresses hyphenation  %%
%%           of accented words, which could alter line and page breaks.  %%
%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required.          %%
%%           Driver option needs to be set explicitly.                   %%
%% perpage:  Resets footnote markers every page. Required.               %%
%% graphicx: Standard interface for graphics inclusion. Required with    %%
%%           paper-oriented output. Driver option needs to be set        %%
%%           explicitly.                                                 %%
%%                                                                       %%
%%                                                                       %%
%% Producer's Comments:                                                  %%
%%                                                                       %%
%% A straightforward text once you get past the French.                  %%
%%                                                                       %%
%%                                                                       %%
%% Things to Check:                                                      %%
%%                                                                       %%
%% hyperref driver option matches workflow: OK                           %%
%% Spellcheck: OK                                                        %%
%% Smoothreading pool: OK (2 French speakers)                            %%
%% LaCheck: OK                                                           %%
%% Lprep/gutcheck: OK                                                    %%
%% PDF pages: 69                                                         %%
%%            (print format)                                             %%
%% PDF page size: 648 x 432pt in screen format;                          %%
%%                499 x 709pt (b5) in print format                       %%
%% PDF bookmarks: created but closed by default                          %%
%% PDF document info: filled in                                          %%
%% PDF annotation on copyright page: visible                             %%
%% ToC page numbers: N/A                                                 %%
%% Images: One decoration for title page in print format                 %%
%% Fonts: Latin Modern for text, Computer Modern for mathematics         %%
%%        check ligatures are visible                                    %%
%%            eg p5 (print) p10 (screen) emdash following DÉFINITIONS,   %%
%%            "fi" in "fini" three lines below                           %%
%%        Accents show up in header boilerplate (Courier)                %%
%%        Summations (\textsum) show up in print format (CMEX7)          %%
%%            eg near bottom of p37 (about 11 lines below eqn D_1)       %%
%% Two underfull vboxes in print format using pdfLaTeX and one underfull %%
%%   vbox using LaTeX+dvips (difference caused by hyperlinks not being   %%
%%   hyphenable with dvips); output is still OK                          %%
%% No over/underfull boxes in screen format using pdfLaTeX; two overfull %%
%%   hboxes using LaTeX+dvips because hyperlinks can't break             %%
%%                                                                       %%
%%                                                                       %%
%% Compile History:                                                      %%
%%                                                                       %%
%% July 08: dcwilson.                                                    %%
%%          Compiled with pdfLaTeX the standard three times.             %%
%%          MiKTeX 2.7, Windows XP Pro                                   %%
%%          Also compiled with LaTeX the standard three times, followed  %%
%%            by dvips+distiller.                                        %%
%%          MiKTeX 2.7, Windows XP Pro                                   %%
%%                                                                       %%
%% Command block:                                                        %%
%% pdflatex x3                                                           %%
%%                                                                       %%
%%                                                                       %%
%% July 2008: pglatex.                                                   %%
%%   Compile this project with:                                          %%
%%   pdflatex 26118-t.tex ..... THREE times                              %%
%%                                                                       %%
%%   pdfeTeX, Version 3.141592-1.30.5-2.2 (Web2C 7.5.5)                  %%
%%                                                                       %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listfiles
%
% Compilation instructions
%
% This file has been written to produce output in either print-oriented
% or screen-oriented format. The default is print-oriented; change
% \Papertrue to \Paperfalse below to get screen-oriented output.
%
% The standard "three times through LaTeX" compilation cycle should suffice.
% We aim to use T1-encoded fonts: on some TeX systems you may need to
% set a suitable flag when compiling so that this encoding is used.
%
% We use the memoir documentclass. This can be obtained from CTAN
% if it's not already part of your TeX distribution.
%
% We use the hyperref package: make sure your configuration's default
% driver is appropriate, or add an explicit driver option to the
% invocation of hyperref below. In print-oriented format there is
% one graphic: make sure the driver used is apropriate to your workflow.
%
% We use the amsmath and amsthm packages. These can be obtained from
% CTAN or from the American Mathematical Society if they're not already
% part of your TeX distribution.
%
% We use the babel package. This can be obtained from CTAN
% if it's not already part of your TeX distribution.
%
% We use the lmodern package. This (and the associated Latin Modern fonts)
% can be obtained from CTAN if it's not already part of your TeX distribution.
%
% We use the perpage package. This can be obtained from CTAN
% if it's not already part of your TeX distribution (it's now part of the
% bigfoot bundle).
%
% Other packages used are part of the LaTeX base, and so should be
% already present in your TeX distribution.
%
%
% Formatting for screen or paper is different
%
\newif\ifPaper
\Papertrue
%
\ifPaper
  \documentclass[b5paper,10pt,twoside,openright,onecolumn]{memoir}[2005/09/25]
  \setlrmarginsandblock{2.3cm}{2.6cm}{*}
  \setulmarginsandblock{3.1cm}{2.2cm}{*}
  \setlength{\headsep}{1cm}
\else
  \documentclass[ebook,landscape,14pt,oneside,openany,onecolumn]{memoir}[2005/09/25]
  \setlrmarginsandblock{2cm}{2cm}{*}
  \setulmarginsandblock{1.5cm}{1cm}{*}
  \setlength{\headsep}{0.7cm}
\fi
\setlength{\footskip}{0.6cm}
\fixthelayout
\typeoutlayout

% font and accent stuff...
% to read the input file properly
\usepackage[latin1]{inputenc}[2004/02/05]
% to use French language conventions
\usepackage[english,frenchb]{babel}[2005/05/21]
\newcommand\octavo{\FrenchEnumerate8}
\makeatletter
% to take advantage of French hyphenation patterns we need
% fonts which do not use composite characters for accents
% such as the EC fonts: with pdf output in mind we also
% want Type 1 fonts
% NB without fontenc we can't use accented characers in things
% like destination names: cf the use of "Theorem" rather than
% "#1" (which would expand to Théorème) in the hyperref bits
% of the \newtheoremstyle below
\IfFileExists{lmodern.sty}
{% our first choice: the Latin Modern fonts
 \usepackage{lmodern}[2003/07/16]
 \usepackage[T1]{fontenc}[2004/02/22]
}{% else fallback to standard CM fonts
  % and warn that output may be less than ideal
 \GenericInfo{*** }{***\MessageBreak
   Important Note: to get authentic French hyphenation\MessageBreak
   you will need to modify the source to use the\MessageBreak
   fontenc package together with suitable fonts.\MessageBreak
   I'm using CM fonts, so expect poor results.\@gobble}
}
\DeclareRobustCommand\ttfamily % Courier, for the PG licence stuff
        {\not@math@alphabet\ttfamily\mathtt
         \fontfamily{pcr}\fontencoding{T1}\selectfont}

% mathematics
\usepackage[leqno]{amsmath}[2000/07/18]
% we only want inline equations to break where we explicitly allow
\binoppenalty=\@M
\relpenalty=\@M
\def\dotsc{\allowbreak\ldots}
\let\dotm\cdot
\let\epsilon\varepsilon
\let\phi\varphi
\usepackage{amsthm}[2004/08/06]
% New theorem styles so the optional argument appears as the "number"
% Also formatted to resemble original with a trailing emdash
% The first style is set up to create automatic bookmarks and to make hyperlinked
% crossreferences fairly easy; any bookmarking or hyperlinking of the other styles
% has to be done manually and ad hoc
\newtheoremstyle{dplain}{}{}{\itshape}{}{\scshape}{.---}{\z@}{\xdef\@currentHref{Theorem#3#2}%
   \hypertarget{Theorem#3#2}{\texorpdfstring{\thmname{#1}}{Theorem}\thmnote{ #3}\thmnumber{ #2}}%
   \rlap{\addcontentsline{toc}{section}{Théorème #3}}}
\newtheoremstyle{dremark}{}{}{\normalfont}{}{\scshape}{.---}{\z@}{\thmname{#1}\thmnote{ #3}\thmnumber{ #2}}
\newtheoremstyle{case}{}{}{\normalfont}{}{\scshape}{.---}{\z@}{\thmname{#3}\thmnote{ #1}\thmnumber{ #2}}
\theoremstyle{dplain}
\newtheorem*{Thm}{Théorème}
\theoremstyle{dremark}
\newtheorem*{Defn}{Définitions}
\newtheorem*{REMARQUE}{Remarque}
\newtheorem*{COROLLAIRE}{Corollaire}
\newtheorem*{Premier}{Premier}
\newtheorem*{Premiere}{Première}
\newtheorem*{SECONDE}{Seconde}
\theoremstyle{case}
\newtheorem*{CAS}{Cas}

% footnotes
\newfootnoteseries{T} % for transcriber's notes
\plainfootstyle{T}
\renewcommand{\thefootnoteT}{\BringhurstX{footnoteT}}
% this book uses parentheses around superscript footnote markers
% comment out the next two definitions to get "normal" footnote markers
\def\@makefnmark{\hbox{\upshape(\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}}
\footmarkstyle{(\textsuperscript{#1})\hfill}
\footmarkstyleT{#1\hfill}
\renewcommand{\foottextfont}{\footnotesize\normalfont}
\let\foottextfontT\foottextfont
\setlength{\footmarksep}{\z@}
\setlength{\footmarkwidth}{1.3em}
\usepackage{perpage}[2002/12/20]
\MakePerPage{footnote}
\MakePerPage{footnoteT}
\def\BringhurstX#1{\expandafter\@BringhurstX\csname c@#1\endcsname}
\def\@BringhurstX#1{\ifcase#1\or*\or\dag\or\ddag\or\S\or$\|$\or\P
  \or**\or\dag\dag\or\ddag\ddag\or\S\S\or$\|\|$\or\P\P\else?\fi}
\ifPaper\else
  % We want the footnotes to be out of the way at the bottom, but memoir
  %   sets \raggedbottom.
\renewcommand*{\footnoterule}{\kern-3pt\vfill
    \hrule width 0.4\columnwidth \kern 2.6pt}
\fi

% We set up the version of the verbatim package embedded
% in the memoir class to wrap nicely
\setlength{\verbatimindent}{.25in}
\wrappingon
\addto@hook\afterevery@verbatim{\parindent\z@\relax}
\setverbatimfont{\normalfont\ttfamily\Small} % 8pt for B5, 11pt for screen
\addto@hook\every@verbatim{\PGhook}
\let\verbatimbreakchar\empty
\let\PGhook\empty
{\catcode`\L\active
\gdef\PGlicencelink{\catcode`\L\active\letL\PGlinklicence}}
\def\PGlinklicence{\@ifnextchar i{\PG@lli}{L}}
\def\PG@lli#1{\@ifnextchar c{\PG@llii}{Li}}
\def\PG@llii#1{\@ifnextchar e{\PG@lliii}{Lic}}
\def\PG@lliii#1{\@ifnextchar n{\PG@lliv}{Lice}}
\def\PG@lliv#1{\@ifnextchar s{\PG@llv}{Licen}}
\def\PG@llv#1{\@ifnextchar e{\PG@llvi}{Licens}}
\def\PG@llvi#1{\hyperlink{PGlicence}{License}}
\def\PGheaderhook{\catcode`\L\active}

% half-title, title and copyright pages
\aliaspagestyle{title}{empty}
\setlength{\droptitle}{\ifPaper\z@\@plus\@ne fill\else-2em\@plus\m@ne fill\fi}
\pretitle{\begin{center}\ifPaper\HUGE\else\fontsize{36}{42}\selectfont\fi\bfseries}
\renewcommand{\maketitlehookb}{\ifPaper\vspace{24pt}\else\medskip\fi\begin{center}\tiny\bfseries PAR\end{center}}
\posttitle{\par\end{center}}
\preauthor{\begin{center}\Large}
\postauthor{\par\end{center}}
\def\affiliation#1{\renewcommand{\maketitlehookc}{\begin{center}\tiny\textsc{#1}\par\end{center}}}
% title page decoration
\ifPaper
  \usepackage{graphicx} %% NOTE: driver option
  \def\Decoration{\centerline{\includegraphics[width=93pt]{images/decoration.\gext}}}
\fi
\predate{\vspace{\z@\@plus.5fill}\ifPaper\Decoration\fi
  \vspace{\z@\@plus1.5fill}\begin{center}\Small\itshape}
\postdate{\par\end{center}\vspace{-1.5em}}
\let\transcribersnotes\@empty
\let\transcribersNotes\@empty
\newcommand{\transcribersnote}[1]{%
  \@ifnotempty{#1}{\g@addto@macro\transcribersnotes{#1\par}%
    \@xp\@ifempty\@xp{\transcribersNotes}%
      {\renewcommand{\transcribersNotes}{note}}
      {\renewcommand{\transcribersNotes}{notes}}}}

\def\makecopyrightpage{% production credits and transcriber's notes
  \begingroup\pagestyle{empty}
  \ifPaper
    \null\vfil
    \transcribersnote{This document is designed for two-sided printing.
      It can be recompiled for on-screen viewing: see comments in source \LaTeX\ code.}
  \else
    \transcribersnote{This document is designed for on-screen viewing.
      It can be recompiled for two-sided printing: see comments in source \LaTeX\ code.
      Alternatively, print this on-screen version 2-up.}
  \fi
  \begin{center}
Produced by Joshua Hutchinson, David Wilson and the Online
Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This
etext was produced using images from the Cornell University
Library: Historical Mathematics Monographs collection.)
  \end{center}
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  \vfil
  \vbox{\Small\hsize=.75\textwidth\parindent=\z@\parskip=.75em
  \textit{Transcriber's \transcribersNotes}\par\medskip\raggedright
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% chapters and sections
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% headers and footers
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\newcommand\cataloguelabel[1]{\hspace\labelsep \upshape\bfseries #1}
\newcommand\Dotfill{\null\nobreak\dotfill\kern.7em}

% to deal with the scanned page breaks
% add a "draft" option to the documentclass invocation to see the scan numbers
\ifdraftdoc
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{\marginpar{\noindent\null\hfill\Small #2.png}}
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% for thought breaks
% if it won't fit on the page, we squeeze in a rule instead
\newcommand\ThoughtBreakDP{\noindent
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    \@plus0.2fil*\hglue\z@\@plus0.2fil*\hglue\z@\@plus\@ne fil}}
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  \nobreak\begingroup
  \setbox\@tempboxa=\vbox{\ThoughtBreakSpace\Th@ughtBre@k}%
  \dimen@\pagegoal\advance\dimen@-\pagetotal % space left on page
  \ifdim\dimen@>\z@ % there is some space to fill
    \ifdim\ht\@tempboxa>\dimen@ % but not enough space left
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      \setbox\@tempboxa=\vbox{\ThoughtBreakRule}% without any space before
      \ht\@tempboxa\z@\dp\@tempboxa\z@\box\@tempboxa
      \break
    \else % the normal thought break should fit
      \box\@tempboxa
      \ThoughtBreakSpace
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  \else % the normal thought break should fit
    \box\@tempboxa
    \ThoughtBreakSpace
  \fi\endgroup}

% PDF stuff: links, document info, etc
% Make sure the appropriate driver is included in the hyperref options
\usepackage[final,colorlinks]{hyperref}[2003/11/30] %% NOTE: driver option
\usepackage{memhfixc}[2005/11/15]
\providecommand{\ebook}{2xydw}
\hypersetup{pdftitle=The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Mémoire sur les Équations Résolubles Algébriquement,
  pdfsubject=Mémoire sur les Équations Résolubles Algébriquement,
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  \expandafter\ifx\csname pdfmark\endcsname\relax\else % dvips and dvipsone need explicit page sizing
    \AtBeginDocument{\special{! <</PageSize [648 432]>> setpagedevice}}
  \fi
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% pdf annotations
\ifpdf % using native pdftex
   \def\wm{\noindent\kern.5\textwidth\pdfannot width\textwidth height12pt {\wmGuts}}
   \def\gext{pdf}
\else\expandafter\ifx\csname pdfmark\endcsname\relax\else % pdfmarks: we're using dvips or dvipsone
   \def\wm{\kern-12pt\noindent\kern.5\textwidth\rlap{\pdfmark[\phantom{\vrule width\textwidth
      height12pt}]{pdfmark=/ANN, Raw={\wmGuts}}}}
   \def\gext{eps}
\fi\fi
\def\wmGuts{/Subtype /FreeText
     /Contents (\string\200 Project \string\200 Gutenberg \string\200 \#\ebook\ \string\200)
     /DA ([0.6875 0.6875 0.6875] r
     /CoBo 8 Tf) /BS << /W 0 >> /F 37 /Q 1 /Title (PG)
     /DS(font: bold Courier,monospace 8.0pt;
         text-align:\ifPaper center\else right\fi; color:####BBBBBB )}
\newbox\wmbox
\def\wmc{\copy\wmbox}
\AtBeginDocument{\setbox\wmbox=\hbox to\z@{\hss
  \vtop{\hsize=\textwidth\kern\ifPaper35\else20\fi pt\wm}\hss}
  \ht\wmbox=\z@\relax\dp\wmbox=\z@\relax}
% Here we fiddle with the \tag command so that it also writes a label we can hyperlink to
% If the tag is safe to include in the label then \tag{X} will give us (X) in the display
% and a label "eqn:X", but if we want a label different from the tag (eg when we have duplicate
% tags in the document, as we have here) then \tag[Y]{X} will give (X) in the display
% and a lable "eqn:Y"
% This could probably be achieved using explicit labels and \eqref, but the
% less intrusive and duplicated the markup the better I think!
\let\dp@tag\tag@in@display
\def\tag@in@display{\@ifnextchar[\dp@t@g\dp@@t@g}
\def\dp@@t@g#1{\dp@t@g[#1]{#1}}
\def\dp@t@g[#1]#2{\dp@tag{#2}\label{eqn:#1}}
\let\dp@tag@\tag@in@align
\def\tag@in@align{\@ifnextchar[\dp@t@g@\dp@@t@g@}
\def\dp@@t@g@#1{\dp@t@g@[#1]{#1}}
\def\dp@t@g@[#1]#2{\dp@tag@{#2}\label{eqn:#1}}
% \tagref has similar syntax to our modified \tag:
% \tagref{X} will put "(X)" in the document and link to "eqn:X", but
% \tagref[Y]{X} will put "(X)" in the document but link to "eqn:Y"
% \tagref*{X} and \tagref*[Y]{X} are for the rare occasions when we don't want parentheses
\newif\iftag@p@ren
\def\tagref{\@ifstar{\tag@p@renfalse\t@gref}{\tag@p@rentrue\t@gref}}
\def\t@gref{\@ifnextchar[\dp@t@gref\dp@tagref}
\def\dp@tagref#1{\dp@t@gref[#1]{#1}}
\def\dp@t@gref[#1]#2{{\normalfont\iftag@p@ren(\fi\@ifundefined{r@eqn:#1}{#2}{\hyperlink
 {\expandafter\expandafter\expandafter\@fourthoffive\csname r@eqn:#1\endcsname}{#2}}\iftag@p@ren)\fi}}
% slight modification of hyperref's command, for adding explicit bookmarks and destinations
\newcommand\DPpdfbookmark[3][0]{\rlap{\hyper@anchorstart{#3}\hyper@anchorend
     \Hy@writebookmark{}{#2}{#3}{#1}{toc}}}

% bits and pieces
\emergencystretch=12pt
\let\Small\footnotesize
\let\SMALL\scriptsize
\def\squishy{\@setfontsize\small{\@xivpt}{16.5}}

% We wanted to \usepackage{relsize} but the new version
% doesn't behave the same as the old version (which is what we wanted)
% so we just include the relevant bits from the old package
% written by Donald Arseneau
\DeclareRobustCommand\relsize[1]{%
\ifmmode \@nomath\relsize\else
 \@tempcnta % assign number representing current font size
   \ifx\@currsize\normalsize 4\else   % funny order is to have most ...
    \ifx\@currsize\small 3\else       % ...likely sizes checked first
     \ifx\@currsize\footnotesize 2\else
      \ifx\@currsize\large 5\else
       \ifx\@currsize\Large 6\else
        \ifx\@currsize\LARGE 7\else
         \ifx\@currsize\scriptsize 1\else
          \ifx\@currsize\tiny 0\else
           \ifx\@currsize\huge 8\else
            \ifx\@currsize\Huge 9\else
            4\rs@unknown@warning % unknown state: \normalsize as starting point
 \fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi
%  Change the number by the given increment:
 \advance\@tempcnta#1\relax
%  watch out for size underflow:
 \ifnum\@tempcnta<\z@ \rs@size@warning{small}{\string\tiny}\@tempcnta\z@ \fi
 \ifcase\@tempcnta  % set new size based on altered number
    \tiny \or \scriptsize \or \footnotesize \or \small \or \normalsize \or
    \large \or \Large \or \LARGE \or \huge \or \Huge \else
     \rs@size@warning{large}{\string\Huge}\Huge
\fi\fi}
\DeclareRobustCommand\larger[1][\@ne]{\relsize{+#1}}
\DeclareRobustCommand\smaller[1][\@ne]{\relsize{-#1}}
\DeclareRobustCommand\textlarger[2][\@ne]{{\relsize{+#1}#2}}
\DeclareRobustCommand\textsmaller[2][\@ne]{{\relsize{-#1}#2}}
\newcommand\mathsmaller[1]{{\mathchoice{\textstyle}%
  {\scriptstyle}{\scriptscriptstyle}{\scriptscriptstyle}#1}}
\DeclareRobustCommand\mathlarger[1]{\mathchoice
  {\mbox{\larger$\displaystyle#1\m@th$}}%
  {{\displaystyle#1}}{{\textstyle#1}}{{\scriptstyle#1}}}
%
% The standard summation symbol seems too overwhelming when used inline, especially without limits
% We could use \Sigma, but it is subtly different from \sum, hence...
% NB in Paper format this requires cmex7 (or suitable substitution lines in your font .map files)
% If the font isn't accessible there will be missing summation signs in the output :-(
\def\textsum{\raise.4ex\hbox{$\m@th\mathsmaller{\sum}$}}

\makeatother

\begin{document}

%-----------------------File: 001.png----------------------------
\begingroup
\pagestyle{empty}
\ifPaper\pagenumbering{Alph}\fi % to ensure unique hyperref page anchors
\let\PGhook\PGlicencelink
\begin{verbatim}
The Project Gutenberg EBook of Mémoire sur les équations résolubles
algébriquement, by M. Despeyrous

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org


Title: Mémoire sur les équations résolubles algébriquement

Author: M. Despeyrous

Release Date: July 24, 2008 [EBook #26118]

Language: French

Character set encoding: ISO-8859-1

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS ***
\end{verbatim}
\ifPaper\cleartorecto\else\newpage\fi
\endgroup
\ifPaper
  \frontmatter
\else
  \frontmatter*
\fi

\title{%
{\Large MÉMOIRE}\\
{\SMALL SUR}\\
LES ÉQUATIONS\\
{\Large RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT}} % Despeyrous: Mémoire sur les Équations Résolubles Algébriquement

\author{M. DESPEYROUS}
\affiliation{Ancien professeur à la Faculté des sciences de Toulouse.}

\date{Paris, 1887}

\maketitle

\newpage
\transcribersnote{This e-text was created from scans of the book published
 at Paris in 1887 by A.~Hermann as part of the \textit{Librairie Scientifique}
 series. The book was printed by G.~Gounouilhou of Bordeaux.}

\transcribersnote{The author's footnotes are labelled numerically\footnotemark\
 and are in French; footnotes showing where corrections to the text have been
 made are labelled using printer's marks\footnotemarkT\ and are in English.}

\transcribersnote{The author uses a vinculum $\overline{n-1}p$ where modern
 usage would be to use parentheses $(n-1)p$.}

\transcribersnote{\SMALL Details of minor typographical corrections
 are documented in the \LaTeX\ source.}

\makecopyrightpage
\ifPaper\cleartorecto\fi

\ifPaper
  \mainmatter
\else
  \mainmatter*
\fi

\chapter*{MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT}

\ThoughtBreak\phantomsection\addcontentsline{toc}{chapter}{Préface}
\bigskip

La solution de cette question générale, \emph{trouver toutes les équations
de degré premier résolubles algébriquement}, fait l'objet
de ce mémoire. Nous croyons que notre solution est exacte et
complète, et nous avons l'espoir qu'elle sera jugée telle par les
géomètres.

La résolution des équations des quatre premiers degrés était connue
depuis longtemps, lorsque Vandermonde et Lagrange lurent presque
en même temps, l'un à l'Académie des Sciences de Paris\footnote{\textit{Mémoires
de l'Académie des Sciences de Paris}, année 1771.}, l'autre
à l'Académie des Sciences de Berlin\footnote{\textit{Mémoires de l'Académie
des Sciences de Berlin}, années 1770--71.}, leurs savantes recherches sur
la résolution générale des équations. Par des méthodes différentes,
ces deux grands géomètres arrivèrent à des résultats identiques; et,
en particulier à celui-ci: «\emph{La résolution de l'équation générale du
cinquième degré dépend en dernière analyse d'une équation
du sixième degré}; et la résolution de celle-ci d'une équation du
quinzième ou du dixième degré.» Mais est-ce là le dernier degré de
réduction auquel on puisse parvenir?

On en était là lorsque le célèbre Gauss publia en 1801 ses \textit{Disquisitiones
arithmeticae}, qui contiennent dans la septième section la
résolution algébrique des équations binômes.

\PG-----------------------File: 008.png----------------------------
Vingt-cinq ans plus tard l'illustre Abel s'occupa à son tour de la
résolution algébrique des équations, comme le prouve la lettre qu'il
écrivait, trois ans avant sa mort, à M.~Holmboe: «Depuis mon arrivée
à Berlin, je me suis occupé de la solution du problème général suivant:
\emph{trouver toutes les équations qui sont résolubles algébriquement};
ma solution n'est pas encore complète, mais autant que j'en puis
juger, elle aboutira. Tant que le degré de l'équation est un nombre
premier, la difficulté n'est pas très grande, mais lorsque ce nombre
est composé, le diable s'en mêle\footnote{\textit{Oeuvres complètes d'Abel}, 2\ieme{} vol., p.~265.}.»

Nous devons ajouter qu'il ne réussit même pas lorsque le degré est
premier, mais qu'il trouva, en généralisant les résultats de Gauss sur
les équations binômes, une classe d'équations résolubles algébriquement,
appelées aujourd'hui \emph{abéliennes}, et qu'il démontra l'impossibilité
de résoudre algébriquement des équations générales de degré
supérieur au quatrième\footnote{\ifPaper
\textit{Id.}, p.~5 et 114 du premier volume.\else
\textit{Oeuvres complètes d'Abel}, 1\ier{} vol., p.~5 et 114.\fi}.

Enfin M.~Liouville a publié en 1846, dans son journal, les oeuvres
mathématiques de Gallois, dont la mort prématurée a été une véritable
perte pour la science. Dans ces oeuvres, se trouve la démonstration
de ce beau théorème: «Pour qu'une équation irréductible de
degré premier soit soluble par radicaux, il faut et il suffit que toutes
les racines soient des fonctions rationnelles de deux quelconques
d'entre elles.» Mais la démonstration laisse beaucoup à désirer, elle
a des lacunes, et il a fallu toute l'autorité de M.~Liouville pour faire
admettre l'existence du théorème. Nous avons encore de Gallois un
\emph{fragment} sur les conditions de résolubilité des équations de degré
composé; mais il est inintelligible, à l'exception des trois premières
pages.

Les remarquables travaux dont nous venons de parler nous ont
fait hésiter longtemps à nous occuper de la question générale ci-dessus
énoncée, mais nos recherches\footnote{\textit{Journal de Mathématiques pures et appliquées},
 deuxième série, t.~VI, p.~417; t.~X, p.~55 et 177.} sur la \emph{théorie de l'ordre} et sur
l'application que nous en avons faite à la classification des permutations
qu'offrent $m$ lettres en groupes de permutations inséparables
quels que soient les échanges de ces lettres, fournissent une méthode
\PG-----------------------File: 009.png----------------------------
pour la solution de cette question générale, et c'est le résultat des
applications de cette méthode que nous soumettons au jugement des
géomètres.

Notre travail est divisé en deux sections: dans la première, après
avoir rappelé l'indispensable théorie de Lagrange sur les fonctions
semblables et dissemblables, nous exposons les principes de notre
théorie sur les équations résolubles par radicaux. Ces principes se
composent de six théorèmes dont un seul, le cinquième, était connu
et appartient à Gallois.

Le but de ces principes est d'établir: \primo que la résolution de toute
équation algébrique, irréductible et soluble par radicaux dépend
\emph{nécessairement} de la résolution d'une équation auxiliaire appelée
\emph{résolvante}, dont les racines sont des fonctions rationnelles de celles
de la proposée; \secundo que cette équation résolvante n'est décomposable
en facteurs de degrés moindres, qu'autant que les groupes de permutations
des racines de l'équation proposée, relatifs à celles de l'équation
résolvante, peuvent être partagés en nouveaux groupes de
permutations \emph{inséparables}.

Ces deux théorèmes contiennent en germe la méthode qu'on
doit suivre pour la détermination des conditions nécessaires et
suffisantes pour qu'une équation algébrique et irréductible soit
soluble par radicaux.

Dans la deuxième section, nous développons cette méthode, et
nous démontrons que les deux théorèmes de Lagrange, sur la théorie
générale des équations, sont des conséquences nécessaires de la
théorie des équations, vérité\footnote{\textit{Traité de la résolution
 des équations numériques}, 2\ieme{} éd., p.~274.} aperçue
 par ce grand géomètre, et
que nous mettons, ce nous semble, hors de doute.

Ainsi nous démontrons: \primo que pour résoudre une équation algébrique
irréductible et de degré premier $n$, il est nécessaire et suffisant
de résoudre deux équations, l'une de degré $n - 1$ et l'autre de degré
$ 1\dotm 2\dotm 3 \dotsm (n - 2)$; \secundo que pour résoudre une équation algébrique
irréductible et de degré composé $m = nq$ ($n$ étant premier)
il est nécessaire et suffisant de résoudre $n$ équations de degré $q$ et
deux autres équations, l'une de degré $n - 1$ et l'autre de degré $\gamma$
\PG-----------------------File: 010.png----------------------------
donné par la formule
\[
\gamma = \frac{1\dotm 2\dotm 3\dotsm m}{(1\dotm 2\dotm 3\dotsm q)^n\dotm n(n-1)}\,.
\]
De là, et de notre théorème de la classification des permutations\footnote
{\emph{Journal de Mathématiques}, 2\ieme{} série, t.~VI, p.~417.}
nous déduisons d'une manière \emph{directe, qu'il est impossible de
résoudre algébriquement les équations générales de degré supérieur
au quatrième}. Ce théorème, dû à Abel, comme nous l'avons
déjà dit, a été démontré par ce géomètre par la réduction à l'absurde;
plus tard, Wantzel en a donné une démonstration plus simple, mais
ayant le même caractère. Notre démonstration est directe et elle est
déduite de la nature même des choses, aussi est-elle simple et facile.

Puisqu'il est impossible de résoudre algébriquement les équations
générales de degré supérieur au quatrième, on doit chercher les
conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation irréductible,
de degré supérieur à quatre, soit résoluble algébriquement,
c'est-à-dire soluble par radicaux.

Notre théorie de la classification des permutations nous fait d'abord
retrouver une classe d'équations résolubles algébriquement, c'est
celle des équations dites \emph{abéliennes}, et la décomposition de ces
équations en d'autres, de degrés moindres, selon la loi de Gauss. Puis
nous distinguons dans cette recherche deux cas, celui où le degré
est un nombre premier, et celui où il est composé. Dans le premier
cas nous démontrons ce théorème: \emph{Pour qu'une équation irréductible
et de degré premier soit soluble par radicaux, il faut et il
suffit que, deux racines étant données, les autres s'en déduisent
rationnellement suivant une loi que nous faisons connaître.}

Ce théorème, tel que Gallois l'avait énoncé, ne faisait pas connaître
cette loi de dérivation des racines; c'est peut-être pour cette raison
que la démonstration de ce géomètre laissait beaucoup à désirer:
nous espérons que la nôtre sera à l'abri de ce reproche.

Ensuite, nous donnons, \hyperlink{TheoremXIV}{théorème~XIV}, les conditions nécessaires
et suffisantes pour qu'une équation algébrique irréductible et dont le
degré ne contient aucun des facteurs premiers deux et trois soit
résoluble algébriquement.
\PG-----------------------File: 011.png----------------------------

Enfin nous examinons les cas particuliers qui ne sont pas compris
dans ce dernier théorème, et pour chacun d'eux nous donnons les
conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation irréductible
soit soluble par radicaux. C'est ainsi que nous complétons la solution
de ce problème général: \emph{trouver toutes les équations résolubles
algébriquement}.
\PG-----------------------File: 012.png----------------------------


\chapter{PRINCIPES}

\begin{Defn}
Soient $x_0, x_1, x_2, \dotsc, x_{m-1}$, $m$ quantités, et $V$ une
fonction de ces quantités, cette fonction étant formée avec elles à
l'aide des six opérations fondamentales des mathématiques ou de
quelques-unes d'entre elles, répétées un nombre fini de fois; dont
trois directes, addition, multiplication, formation de puissances, et
trois inverses, soustraction, division, extraction de racines.
\end{Defn}

Si, dans la formation de la fonction $V$, il n'y a que des signes
des quatre premières opérations ou de quelques-unes d'entre elles,
$V$ est dite fonction entière de $x_0, x_1, x_2, \dotsc, x_{m-1}$; et si dans $V$ ces
quantités sont liées par les signes des cinq premières opérations ou
de quelques-unes d'entre elles, $V$ est une fonction \emph{rationnelle} de
ces $m$ quantités. Mais nous donnerons une plus grande extension à
ces mots \emph{entier} et \emph{rationnel}, et nous dirons qu'une fonction est
entière ou rationnelle de ces quantités $x_0, x_1, x_2, \dotsc, x_{m-1}$, quand
bien même son expression contiendrait dans la première ou dans la
seconde formation des racines de l'unité d'un degré quelconque $k$,
égal ou différent de~$m$.

Une équation algébrique
\[  \tag[-1]{1}
 F(x) = x^m + A_1 x^{m-1} + A_2 x^{m-2} + \dotsb + A_m = 0
\]
est \emph{réductible} ou \emph{irréductible}, selon que le premier membre se
décompose ou ne se décompose pas en facteurs de degrés moindres
en $x$, tels que les coefficients des divers termes de ces facteurs sont
des fonctions rationnelles de $A_1, A_2, \dotsc, A_m$ \emph{indépendantes} des
racines de l'unité d'un degré quelconque. Nous verrons qu'une
\PG-----------------------File: 013.png----------------------------
équation irréductible peut cesser de l'être, quand on adjoint aux
coefficients $A_1, A_2, \dotsc, A_m$ de cette équation des racines de certaines
équations que nous appellerons \emph{résolvantes}.

Résoudre algébriquement l'équation~\tagref[-1]{1}, c'est déterminer une
fonction \emph{algébrique} de ses coefficients, qui, substituée à l'inconnue $x$,
satisfasse identiquement à cette équation.

\section[Fonctions semblables]{Fonctions semblables\protect\footnote
{Voir les \textit{Mémoires de Berlin} pour l'année 1771, p.~192,
 et aussi \textit{l'Algèbre supérieure} de
Serret, 2\ieme{} éd., p.~149.}}

Considérons une fonction rationnelle $V$ des $m$ racines de
l'équation~\tagref[-1]{1}
de forme déterminée et connue, et admettons qu'elle prenne
$s$ valeurs quand on y permute de toutes les manières possibles ces
$m$ racines que son expression renferme.

Nous avons démontré ailleurs\footnote{\textit{Journal de Mathématiques de Liouville},
 février 1865.}, qu'on peut partager les $1 \dotm 2 \dotm 3 \dotsm
m = \mu$ permutations, produites par les $m$ racines en $s$ groupes
composés chacun de $q$ permutations, $\mu = sq$, associés de telle
manière que, malgré tous les échanges de ces lettres, les permutations
d'un même groupe ne peuvent jamais se séparer. Admettons que ce
partage soit effectué, et soit
\[
\left\{
\begin{matrix}
   \alpha_1, & \beta_1, & \dotsc, & \omega_1   \\
   \alpha_2, & \beta_2, & \dotsc, & \omega_2   \\
   \hdotsfor{4}\\
   \hdotsfor{4}\\
   \alpha_s, & \beta_s, & \dotsc, & \omega_s
\end{matrix}
\right.
\tag{A}
\]
le tableau des permutations qui en résulte, le nombre des lettres
$ \alpha, \beta, \dotsc, \omega $ étant égal à~$q$.

Soient $V_1$ la valeur que prend la fonction donnée $V$ pour toutes les
permutations $ \alpha_1, \beta_1, \dotsc, \omega_1 $ du premier groupe et
$ V_2, V_3, \dotsc, V_s $ les
valeurs qu'elle prend respectivement pour les permutations des 2\ieme{},
3\ieme{}, \dotsc, $s$\ieme{} groupes.

Cela rappelé, considérons une autre fonction rationnelle $y$ de ces
mêmes racines; cette fonction $y$ est \emph{semblable} à $V$ si elle est
\PG-----------------------File: 014.png----------------------------
invariable pour toutes les permutations d'un quelconque des groupes
du tableau~\tagref{A}, et si elle change de valeur en passant d'un groupe à
un autre: en sorte que $V$ et $y$ ont un même nombre $s$ de valeurs
distinctes. Pour toute autre hypothèse $V$ et $y$ sont des fonctions
\emph{dissemblables}.

La question à résoudre est celle-ci: connaissant $V$ et les coefficients
de l'équation~\tagref[-1]{1}, trouver l'inconnue $y$. Nous devons distinguer deux
cas dans la solution de ce problème, celui où les fonctions $V$ et $y$ sont
semblables, et celui où elles sont dissemblables.

\begin{CAS}[Premier] Les fonctions $V$ et $y$ sont semblables. Puisque la
forme de la fonction rationnelle $V$ est connue, nous connaissons les
valeurs analytiques $V_1, V_2, \dotsc, V_s$. Considérons actuellement une
fonction rationnelle quelconque et symétrique de ces $s$ valeurs,
\[
  \theta (V_1, V_2, \dotsc, V_s)\,.
\]
Tout changement opéré sur les $m$ racines $x_0, x_1, \dotsc, x_{m-1}$ laissera
une quelconque de ces $s$ valeurs, $V_i$ par exemple invariable, ou il la
transformera en une autre de ces $m$ valeurs. Dans l'une ou l'autre
de ces deux hypothèses, ce même changement produira les mêmes
effets, sur les autres valeurs de $V$, d'après les propriétés connues
du tableau~\tagref*{A}. Mais la fonction $\theta$ est symétrique par rapport à ces
$s$ valeurs, donc elle est symétrique par rapport aux racines de l'équation~\tagref[-1]{1},
et par conséquent elle est exprimable en fonction rationnelle
des coefficients de cette équation. On doit donc considérer comme
connues: \primo la somme des valeurs $V_1, V_2, \dotsc, V_s$; \secundo la somme de
leurs produits deux à deux; \tertio la somme de leurs produits trois à
trois; et ainsi de suite, et par conséquent l'équation:
\[
  \phi(V) = V^s + P_1V^{s-1} + P_2V^{s-2} + \dotsb + P_s = 0\,,\tag[-2]{2}
\]
dont les racines sont ces $s$ valeurs $V_1, V_2, \dotsc, V_s$. Considérons actuellement
la fonction rationnelle $yV^k$, $k$ désignant un nombre entier
quelconque; et désignons par $y_1, y_2, \dotsc, y_s$ les valeurs que prend
respectivement $y$ pour une quelconque des permutations des $s$ groupes
du tableau~\tagref{A}. Il résulte de ce qui précède que toute fonction
symétrique des $s$ valeurs $y_1V_1^k, y_2V_2^k, \dotsc, y_sV_s^k$ est invariable par
rapport aux $m$ racines de l'équation~\tagref[-1]{1}, et par conséquent exprimable
\PG-----------------------File: 015.png----------------------------
en fonction rationnelle de ses coefficients. On doit donc considérer
comme connue la fonction définie par l'équation
\[
  y_1V_1^k + y_2V_2^k + \dotsb + y_sV_s^k = t^k
\]
quelle que soit la valeur entière attribuée à $k$; et par conséquent les
fonctions $t_0, t_1, \dotsc, t_{s-1}$ définies par les équations
\[
\def\arraycolsep{2pt}
\begin{array}{cccccl}
y_1         &+& y_2         &+ \dotsb +& y_s         &= t_0\,,   \\
y_1V_1      &+& y_2V_2      &+ \dotsb +& y_sV_s      &= t_1\,,   \\
\hdotsfor{6}\\
\hdotsfor{6}\\
y_1V_1^{s-1}&+& y_2V_2^{s-1}&+ \dotsb +& y_sV_s^{s-1}&= t_{s-1}\,,
\end{array}
\]
qui se déduisent de la première en donnant successivement à $k$ les
valeurs $0, 1, 2, \dotsc, s-1$; ces équations serviront à déterminer $y_1,
y_2, \dotsc, y_s$. Pour déterminer l'une des inconnues, $y_i$ par exemple,
nous suivrons la méthode des multiplicateurs; nous multiplierons
donc respectivement les deux membres de chacune de ces $s$ équations
par $h_0, h_1, \dotsc, h_{s-2}, 1$; nous ferons la somme des produits membre à
membre, et nous aurons, en faisant pour abréger
%
\begin{gather*}
 h_0 + h_1V + h_2V^2 + \dotsb+ h_{s-2}V^{s-2} + V^{s-1} = \psi(V)\,, \\
 y_1\psi(V_1) + \dotsb + y_i\psi(V_i) + \dotsb + y_s\psi(V_s)
 = h_0t_0 + h_1t_1 + \dotsb + h_{s-2}t_{s-2} + t_{s-1}\,.\footnotemarkT
\end{gather*}%
\footnotetextT{Original has $t_{s-i}$ as the final term}% Note a simple \footnoteT here gets lost
%
Pour déduire de cette dernière équation la valeur de $y_i$, il faut
déterminer les $s-1$ coefficients indéterminés $
h_0, h_1, \dotsc, h_{s-2}$, par
les $s-1$ équations:
\[
 \psi(V_1) = 0, \quad  \psi(V_2) = 0, \quad \dotsc, \quad
 \psi(V_0) = 0\,;
 \tag[-3]{3}
\]
et ces indéterminées étant connues par ces équations, on aura
\[
  y_i = \frac{ h_0t_0 + h_1t_1 + \dotsb + h_{s-2}t_{s-2} + t_{s-1} }
             { \psi(V_i) }\,.
  \tag[-4]{4}
\]
\end{CAS}

Pour déterminer ces $s-1$ indéterminées et par suite $y_i$, il suffit
de résoudre les équations~\tagref[-3]{3}; mais on peut opérer plus simplement,
car ces équations~\tagref[-3]{3} prouvent que les $s-1$ racines de l'équation
$\psi(V) = 0$ sont $V_1, V_2, \dotsc, V_s$, c'est-à-dire toutes celles de
\PG-----------------------File: 016.png----------------------------
l'équation~\tagref[-2]{2}, la racine $V_i$ exceptée; donc
\[
\psi(V)~\footnotemarkT % [** Inserted missing psi]
 = \frac{\phi(V)}{V-V_i} =
\begin{aligned}[t]
V^{s-1}&+V_i\\
&+P_1~\footnotemarkT % [** Corrected subscript "i" to "1"]
\end{aligned}~\vrule height\baselineskip depth2.5\baselineskip
~\begin{aligned}[t]
V^{s-2}&+V_i^2\\
&+P_1V_i\\
&+P_2
\end{aligned}~\vrule height\baselineskip depth5\baselineskip
~\begin{aligned}[t]
V^{s-3}\ldots~&+V_i^{s-1}\,,\\
&+P_1V_i^{s-2}\,,\\
&+P_2V^{s-3}\,,\\
&\dots\dots\\
&+P_{s-1}\,;
\end{aligned}
% need to stuff with footnote counters because the text is out of synch with the marks
\addtocounter{footnoteT}{-1}\footnotetextT{Original lacks $\psi$}%
\addtocounter{footnoteT}{1}\footnotetextT{Original has $P_i$}%
\]et puisque ce quotient doit être identique au polynôme
$\psi(V)$, on doit avoir
%
\begin{gather*}
  h_{s-2} = V_i + P_1 \, ,\quad h_{s-3} = V_i^2 + P_1 V_i + P_2 \, ,\quad \dotsc ,\\
   h_0 = V_i^{s-1} + P_1 V_i^{s-2} + \dotsb + P_{s-1}.
\end{gather*}
%
Ces valeurs font connaître celle de $y_i$; mais le numérateur
de son expression~\tagref[-4]{4} peut être simplifié par le calcul
suivant dû à Lagrange.  Posons en effet
%
\begin{align*}
  T_0 & = t_0, \\
  T_1 & = t_1 + t_0 P_1, \\
  T_2 & = t_2 + t_1 P_1 + t_0 P_2, \\
&  \dots\dots\dots\dots\\
  T_{s-1}&  =  t_{s-1} + t_{s-2} P_1 + t_{s-3} P_2 + \dotsb + t_0 P_{s-1},
\end{align*}
%
et multiplions les deux membres de chacune de ces $s$ équations
respectivement par $V_i^{s-1}, V_i^{s-2}, \dotsc, V_i, 1$;
nous aurons, en faisant la somme des produits membre à membre, et
en ayant égard aux valeurs de $h_0, h_1, \dotsc, h_{s-2}$,
%
\begin{multline*}
  T_0 V_i^{s-1} + T_1 V_i^{s-2} + \dotsb + T_{s-2} V_i + T_{s-1}\\
=  h_0 t_0 + h_1 t_1 + \dotsb  + h_{s-2} t_{s-2} + t_{s-1} = \Theta (V_i)\,;
\end{multline*}
%
et, par suite, la formule~\tagref[-4]{4} deviendra
\[
  y_i = \frac{\Theta (V_i)}{\psi (V_i)} \, ,
\]
les coefficients des diverses puissances de $V_i$, dans le
numérateur, étant des fonctions rationnelles des coefficients
de l'équation~\tagref[-1]{1}. Or, l'équation $\psi(V) =
\dfrac{\phi(V)}{V-V_i}$ donne $\psi(V_i) = \phi'(V_i)$, donc
enfin
\[
   y_i = \frac{\Theta (V_i)}{\phi' (V_i)} \, ,\tag[-5]{5}
\]
\PG-----------------------File: 017.png----------------------------
formule qui donnera les valeurs $y_1, y_2, \dotsc, y_s$ en remplaçant $i$
par les nombres $1, 2, 3, \dotsc, s$.

Ainsi ces valeurs s'expriment en fonction rationnelle de $V_1, V_2, \dotsc, V_s$.

Sous le point de vue analytique, les valeurs $V_1, V_2, \dotsc, V_s$ sont
inégales; mais pour des valeurs particulières des racines $x_0, x_1, \dotsc,
x_{m-1}$ et pour des formes particulières de la fonction $V$, quelques-unes
de ces valeurs peuvent être égales entre elles, $V_1 = V_2$ par exemple;
auquel cas $\phi' (V_1) = 0$. Cette hypothèse rend illusoire la formule~\tagref[-5]{5}
pour les valeurs $y_1$ et $y_2$ relatives à $V_1$ et à $V_2$; mais on peut, en
suivant une méthode connue, déterminer la somme $y_1 + y_2$.

Modifions, en effet, les coefficients de l'équation~\tagref[-2]{2} de telle manière
que les racines $V_1$ et $V_2$ aient une différence $\epsilon$ et que les autres
conservent les mêmes valeurs; nous avons
%
\begin{gather*}
V_2 = V_1 + \epsilon\,,\\
\phi (V) = (V-V_1) (V-V_2) (V-V_3) \dotsm (V-V_s)\,.
\end{gather*}
%
De cette dernière équation nous déduisons
%
\begin{align*}
\phi' (V_1) &= (V_1-V_2) (V_1-V_3) \dotsm (V_1-V_s)\,,\\
\phi' (V_2) &= (V_2-V_1) (V_2-V_3) \dotsm (V_2-V_s)\,;
\end{align*}
%
et si on pose
\[
\frac{\Theta(V)}{ (V-V_3)\dotsm(V-V_s) }= F_1(V)\,,
\]
on aura successivement, à la limite $\epsilon = 0$, c'est-à-dire en rétablissant
les valeurs des coefficients de l'équation~\tagref[-2]{2},
%
\begin{align*}
y_1 &= \lim\frac{F_1(V_1)}{V_1-V_2}
    = -\lim\frac{F_1(V_1)}{\epsilon}\,,\\
y_2 &= \lim\frac{F_1(V_2)}{(V_2-V_1)}
    = \lim\frac{F_1(V_1+\epsilon)}{\epsilon}\,,\\
y_1+y_2 &= \lim\frac{F_1(V_1+\epsilon)-F_1(V_1)}{\epsilon}
=F_1'(V_1)\,.
\end{align*}

On connaît donc la somme $y_1 + y_2$; mais, si on prend pour
inconnue $y^2$, on obtiendrait par un calcul analogue $y_1^2 + y_2^2$. De ces
deux sommes, on déduira l'équation du second degré dont les racines
sont $y_1$ et~$y_2$.
\PG-----------------------File: 018.png----------------------------

Si $V_1 = V_2 = V_3$, la formule~\tagref[-5]{5} devient illusoire pour $y_1, y_2, y_3$;
mais elle peut faire connaître la somme $y_1 + y_2 + y_3$ par la même
méthode. Modifions, en effet, les coefficients de l'équation~\tagref[-2]{2} de telle
manière que $V_1$ soit racine double, que $V_3 = V_1 + \epsilon$ et que les autres
restent les mêmes; et posons
\[
\frac{\Theta(V)}{(V-V_4)(V-V_5)\dotsm(V-V_s)}=F_2(V)\,.
\]
Nous aurons
%
\begin{align*}
\phi'(V_3)&=(V_3-V_1)^2(V_3-V_4)\dotsm(V_3-V_s)\,,\\
F_1(V)&=\frac{F_2(V)}{V-V_3}\,,\\
F'_1(V)&=\frac{(V-V_3)F'_2(V)-F_2(V)}{(V-V_3)^2}\,;
\end{align*}
%
et à la limite, c'est-à-dire en rétablissant les valeurs des coefficients
de l'équation~\tagref[-2]{2}, nous obtiendrons
%
\begin{gather*}
y_3= \lim\frac{F_2(V_1+\epsilon)}{\epsilon^2}\,,\\
y_1 + y_2 + y_3 = \lim\frac{-\epsilon F'_2(V_1) - F_2(V_1) + F_2(V_1+\epsilon)} {\epsilon^2}
=\frac{1}{1\dotm2}F_2''(V_1)\,.
\end{gather*}

En prenant pour inconnue d'abord $y^2$, puis $y^3$, on trouverait par
un calcul analogue $y_1^2 + y_2^2 + y_3^2$ et $y_1^3 + y_2^3 + y_3^3$; et, par suite,
l'équation du 3\ieme{} degré dont les racines seraient $y_1, y_2, y_3$.

Généralement, si $V_1$ était une racine multiple du degré $i$ de
multiplicité, on poserait
\[
\frac{\Theta(V)}{(V-V_{i+1})\dotsm(V-V_s)}= F_{i-1}(V),
\]
et on trouverait la formule
\[
y_1 + y_2 + \dotsb + y_i = \frac{1}{1\dotm 2\dotm 3\dotsm (i-1)} F^{i-1}_{i-1}(V),
\]
qu'on démontrerait être vraie par la voie bien connue de la démonstration
de proche en proche. Et en prenant successivement pour
\PG-----------------------File: 019.png----------------------------
inconnues $y^2, y^3, \dotsc, y^i$, on connaîtrait $y_1^2 + y_2^2 + \dotsb + y_i^2,
 \dotsc, y_1^i + y_2^i + \dotsb + y_i^i$, et par suite l'équation dont les racines seraient
$y_1, y_2, \dotsc,  y_i$. Cette généralité n'étant pas nécessaire à notre objet,
nous en supprimons la démonstration.

Ce résultat pouvait d'ailleurs être prévu; car, à une même valeur $V_1$
de $V$ correspondent par hypothèse $i$ valeurs de $y$, donc chacune d'elles
doit dépendre de la même manière de $V_i$. Ces $i$ valeurs doivent donc
être racines d'une même équation de degré~$i$.

Ainsi, les fonctions $V$ et $y$ des racines de l'équation~\tagref[-1]{1} étant
rationnelles et semblables, on peut généralement avoir la valeur de $y$
par une expression rationnelle de $V$ et des coefficients de cette
équation. Dans le cas où la fonction connue $V$ est racine multiple du
degré $i$ de multiplicité de l'équation~\tagref[-2]{2}, $y$ dépend d'une équation de
ce degré dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de $V$ et
des coefficients de l'équation~\tagref[-1]{1}.

\begin{CAS}[Deuxième] Les fonctions $V$ et $y$ sont \emph{dissemblables}. Nous
continuerons de désigner les $s$ valeurs distinctes de $V$ par $V_1, V_2, \dotsc,
V_s$, et nous désignerons celles de $y$ par $y_1, y_2, \dotsc, y_l$, $l$ étant différent
de~$s$.
\end{CAS}

Si $s$ est égal au nombre total $\mu$ de permutations que produisent
les $m$ racines dont $V$ et $y$ sont fonctions, quelle que soit la valeur $l$,
qui du reste ne peut être qu'un diviseur de $\mu$, la méthode précédente
s'applique sans modification à la détermination de chaque valeur de $y$.
En sorte que, dans cette hypothèse, la formule générale~\tagref[-5]{5} donnera
les diverses valeurs de $y$, chacune d'elles répétée un même nombre
de fois $k$, si $\mu$ = $lk$.

Si $s$ diffère de $\mu$, $s$ sera aussi un diviseur de $\mu$; et dans cette
deuxième hypothèse, soient $y_1, y_2, \dotsc, y_q$ les valeurs de $y$ relatives
aux $q$ permutations du premier groupe du tableau~\tagref{A}, qui font
acquérir à $V$ une même valeur $V_1$; $y_{1+q}, y_{2+q}, \dotsc, y_{2q}$ celles qui sont
relatives aux permutations du second groupe et qui donnent une
même valeur $V_2$ à $V$; et ainsi de suite, chaque valeur de $y$ étant
répétée un certain nombre de fois~$k$.

Il est clair que si on prend une fonction $z$ rationnelle et symétrique
de $y_1, y_2, \dotsc, y_q$, les fonctions $V$ et $z$ seront semblables, ou du moins
telles qu'on pourra appliquer à $z$ la formule~\tagref[-5]{5}. On pourra donc
\PG-----------------------File: 020.png----------------------------
généralement exprimer respectivement $z_1, z_2, \dotsc, z_s$ en fonction
rationnelle de $V_1, V_2, \dotsc, V_s$ et des coefficients de l'équation~\tagref[-1]{1}, par
cette formule générale~\tagref[-5]{5}. Et en prenant successivement pour $z$ la
somme des produits deux à deux de ces valeurs $y_1, y_2, \dotsc, y_q$; la
somme des produits trois à trois de ces mêmes valeurs, et ainsi de
suite; on déterminera, de la même manière, chacune de ces sommes
relatives à $V_1, V_2, \dotsc, V_s$; et, avec les valeurs de ces sommes, on
aura l'équation en $y$ du degré $q$ dont les racines seront $y_1, y_2, \dotsc, y_q$.
Par un calcul analogue on aurait les équations dont les racines
seraient $y_{1+q}, y_{2+q}, \dotsc, y_{2q}$, ainsi que les équations relatives aux
autres groupes.

\begin{COROLLAIRE}[I] Il résulte de ce qui précède que, si la fonction
connue $V$ prenait $\mu$ valeurs distinctes, chacune des racines de l'équation~\tagref[-1]{1}
pourrait être exprimée en fonction rationnelle d'une de ces
valeurs de $V$ et des coefficients de cette équation, car il suffirait de
prendre $x$ pour~$y$.
\end{COROLLAIRE}

\begin{COROLLAIRE}[II] Si la fonction rationnelle $V$ avait une même
valeur pour toutes les permutations d'une même \emph{classe}, $V$ aurait
$m$ valeurs distinctes, et dès lors $V$ et $x$ seraient semblables, et par
suite chacune des racines de l'équation~\tagref[-1]{1} s'exprimerait en fonction
rationnelle d'une de ces valeurs et des coefficients de cette équation.
\end{COROLLAIRE}

\begin{REMARQUE}[I] Dans un cas particulier, le degré $q$ de chacune de
ces équations, au nombre de $s$, peut être abaissé. Soit en effet $q'$ le
nombre de valeurs distinctes de la fonction $y$ pour les $q$ permutations
du premier groupe du tableau~\tagref{A}; les permutations de chacun
des $s-1$ autres groupes de ce tableau étant assujetties à la même
loi de formation que celles du premier, cette fonction $y$ prendra
$q'$ valeurs distinctes pour les $q$ permutations de chacun d'eux. Mais il
peut arriver que les valeurs de $y$ relatives à quelques-uns de ces
$s$ groupes soient égales entre elles ou soient différentes. Dans ce
dernier cas, le nombre $l$ de valeurs distinctes de $y$ sera égal à $sq'$;
et comme $\mu = qs = lk$, on aura $qs = sq' k$, et par suite $q = kq'$.
Ainsi, dans le cas particulier que nous examinons, chacune des
$s$ équations, de degré $q$, a $q'$ racines égales du degré de multiplicité $k$.
\PG-----------------------File: 021.png----------------------------
Donc le premier membre de chacune de ces $s$ équations est une
puissance parfaite de l'indice $k$; en sorte qu'en extrayant la racine
d'indice $k$ de leurs premiers membres, le degré $q$ de chacune d'elles
sera abaissé au degré $q'$; et la détermination de $y$ sera ramenée à la
résolution de ces dernières.
\end{REMARQUE}

\begin{REMARQUE}[II] Il peut arriver, et il y a de nombreux exemples,
que $l$ soit égal à $s$ sans que $y$ prenne une même valeur pour les
$q$ permutations qui font acquérir à $V$ une même valeur. Dans ce cas
nous dirons que $V$ et $y$ sont des fonctions dissemblables: le raisonnement
du deuxième cas peut en effet être appliqué à cette hypothèse.
\end{REMARQUE}

On doit observer toutefois que, si pour les $q$ permutations de chacun
des $s$ groupes du tableau~\tagref{A}, $y$ a $q'$ valeurs distinctes, $\frac{s}{q'}$ de ces
groupes seulement feront acquérir à cette fonction $y$ des valeurs
différentes; et que par conséquent la remarque précédente ne peut
être appliquée à ce cas.

\begin{Thm}[I] La résolution de toute équation algébrique et
irréductible dépend de la résolution d'une équation dont les
racines sont des fonctions rationnelles de celles de la proposée.
\end{Thm}

Soient $m$ le degré de l'équation proposée
\[
f(x)=0\tag[1]{1\protect\footnotemarkT}
% originally we had the \footnotetext immediately following the \]
% but in the screen version a page break intervened, pushing the
% footnote to the next page. We can't just use \footnoteT in the \tag
% because it simply disappears, but a \footnotetextT outside the \tag
% seems to survive, although I don't understand why we need to fiddle
% with the counter...
\addtocounter{footnoteT}{-1}
\footnotetextT{A new sequence of equation numbers begins here}
\]
et $x_0, x_1, \dotsc, x_{m-1}$\footnoteT{Original has $x_1, x_2,\dotsc,x_{m-1}$}
 ses $m$ racines; supposons d'abord qu'elle soit
résoluble algébriquement. Cette équation étant irréductible, chacune
de ses racines est assujettie à la même loi de détermination, celle de
satisfaire identiquement à cette équation; tout ce qu'on peut dire de
l'une d'elles, \emph{appartient nécessairement} à toute autre. Et comme
ces racines sont connues par hypothèse, et exprimées par des fonctions
rationnelles faites avec des radicaux et avec les coefficients de l'équation~\tagref{1},
la fonction de ces radicaux qui donne l'une des racines doit
donner toutes les autres en prenant successivement toutes les déterminations de ces radicaux.
Cette fonction, réduite à sa plus simple
expression, doit donc se réduire successivement à $x_0, x_1, \dotsc, x_{m-1}$,
lorsqu'on y remplace les coefficients de l'équation proposée par les
fonctions symétriques des racines qu'ils expriment. Or, il ne peut en
\PG-----------------------File: 022.png----------------------------
être ainsi que parce que chaque radical de cette expression est équivalent
à une fonction rationnelle de ces mêmes racines, en donnant
à ce mot \emph{rationnel} l'extension dont nous avons parlé dans les
définitions.

Ainsi, chaque radical qui entre dans l'expression d'une quelconque
des racines est équivalent à une fonction rationnelle de ces racines;
et les valeurs algébriques de ces fonctions sont parfaitement déterminées,
 puisqu'elles sont équivalentes à ces radicaux connus par hypothèse.

Donc, si on conçoit l'une quelconque de ces fonctions
\[
  y=F(x_0, x_1, \dotsc, x_{m-1}),
\]
et l'équation $\phi (y) = 0$ de degré $s$ dont elle est racine, équation dont
on obtient les coefficients en fonction rationnelle de ceux de l'équation~\tagref{1} par le
 procédé connu\footnote{Ce procédé consiste à permuter les $m$ lettres
 $x_0, x_1, \dotsc, x_{m-1}$ dont se compose cette
fonction, à former les valeurs distinctes $y_1, y_2, \dotsc, y_s$ qu'elle prend
 pour toutes ces permutations, et à déterminer
\primo la somme de ces valeurs; \secundo la somme de leurs produits deux à
deux; \tertio la somme de leurs produits trois à trois, et ainsi de suite. Car chacune de ces
sommes, étant évidemment symétrique par rapport aux $m$ racines de la proposée~\tagref{1}, peut
être exprimée en fonction rationnelle des coefficients de cette équation.},
 les racines de cette équation
$\phi (y) = 0$ seront connues.

Ainsi, quand une équation irréductible est soluble par radicaux, la
fonction $y$ et l'équation $\phi (y) = 0$ dont elle dépend existent, et les
racines de cette dernière sont parfaitement déterminées. \emph{Réciproquement}: soient
\[
y=F(x_0, x_1, \dotsc, x_{m-1})
\]
une fonction rationnelle des racines de l'équation~\tagref{1}, et
\[
\phi (y) = 0\tag{2}
\]
l'équation dont cette fonction dépend, équation dont les coefficients
sont des fonctions rationnelles de ceux de l'équation proposée~\tagref{1}; et
admettons: \primo que cette équation soit résoluble ou décomposable en
d'autres équations de degrés moindres; qu'elles-mêmes soient décomposables
 en d'autres équations de degrés moindres, et ainsi de suite,
les dernières équations auxquelles on parvient étant résolubles; \secundo et
que des diverses valeurs de cette fonction $y$, on puisse déduire les
\PG-----------------------File: 023.png----------------------------
valeurs des racines cherchées. Le problème de la détermination des
racines de l'équation donnée~\tagref{1} sera complètement résolu.

Plus généralement, soient $z_1, z_2, \dotsc, z_h$ des fonctions rationnelles
contenant toutes les racines de l'équation~\tagref{1}, ou contenant, la
première, un groupe de ces racines, la deuxième, un autre groupe
de ces mêmes racines, et ainsi de suite; et soient
\[
y=F(z_1, z_2, \dotsc, z_h)
\]
une fonction rationnelle de ces quantités, et
\[
\phi(y) = 0
\]
l'équation dont $y$ dépend, équation qu'on peut former avec les coefficients de l'équation~\tagref{1}.
 Admettons: \primo que cette équation $\phi (y) = 0$
soit telle qu'elle soit résoluble directement ou par sa décomposition
en d'autres de degrés moindres; \secundo que des diverses valeurs de $y$ on
puisse déduire les valeurs des expressions $z_1, z_2, \dotsc, z_h$; \tertio que de ces
dernières on puisse déduire directement les racines de l'équation~\tagref{1},
ou les équations dont les racines sont respectivement celles qui entrent
dans chacune de ces expressions; \quarto enfin que ces dernières équations
soient résolubles. Le problème de la détermination des racines de
l'équation proposée~\tagref{1} sera complètement résolu.

Ainsi le théorème est démontré.

Nous appellerons $y$ la \emph{fonction résolvante} de l'équation à résoudre~\tagref{1},
et $\phi (y) = 0$ son \emph{équation résolvante}.

\begin{REMARQUE} Ce théorème détermine la méthode à suivre pour
résoudre les équations. La résolution de l'équation~\tagref{1} dépend de celle
de l'équation~\tagref{2}, pourvu que des diverses valeurs de $y$ on puisse
déduire les racines de la proposée.
\end{REMARQUE}

\begin{Thm}[II] Quelle que soit la composition de la fonction
résolvante $y$ de l'équation irréductible $F(x) = 0$, et quel que soit
le nombre $s$ de ses valeurs distinctes, si les $s$ groupes de permutations
 en $x_0, x_1 x_2, \dotsc, x_{n-1}$ relatifs à ces $s$ valeurs peuvent être
partagés en $v$ groupes de permutations inséparables, l'équation
$\phi (y) = 0$ d'où dépend cette fonction $y$ se décompose en v équations,
chacune du degré $r$, $s = vz$, à l'aide des racines d'une équation
\PG-----------------------File: 024.png----------------------------
algébrique, de degré $v$, dont les coefficients sont des fonctions
rationnelles de ceux de la proposée.
\end{Thm}

Quel que soit, en effet, le nombre $s$ des valeurs distinctes de la
fonction résolvante $y$, et quelle que soit sa composition, les permutations,
nous l'avons déjà rappelé, produites par les $m$ racines de
l'équation proposée dont cette fonction se compose se partagent en
$s$ groupes formés chacun de $q$ permutations associées de telle manière
que, malgré tous les échanges de ces lettres, les permutations d'un
même groupe ne peuvent jamais se séparer. Admettons que ce partage
soit effectué, et soit \tagref{A} le tableau qui en résulte.

Or, nous supposons que ces $s$ groupes se partagent en $v$ groupes
de permutations \emph{inséparables}, composés chacun de $r$ groupes du
tableau~\tagref{A}. Donc, si $z$ est une fonction symétrique quelconque des
$r$ valeurs de $y$ relatives à l'un de ces $v$ groupes, la somme par exemple;
et si on désigne par $z_1, z_2, \dotsc, z_v$ les valeurs qu'elle prend pour
chacun de ces $v$ groupes; toute fonction symétrique de $z_1, z_2, \dotsc, z_v$,
nous l'avons démontré, est invariable par rapport aux $m$ racines de
l'équation donnée~\tagref{1}, et elle est par conséquent exprimable en fonction
rationnelle des coefficients de cette équation. Il est donc possible
d'exprimer en fonction rationnelle de ces coefficients: \primo la somme
de ces valeurs $\gamma_1, \gamma_2, \dotsc, \gamma_v$; \secundo la somme de leurs produits deux à
deux; \tertio la somme de leurs produits trois à trois, et ainsi de suite,
et par conséquent de former l'équation
\[
\Gamma^v + C_1\Gamma^{v-1}+\dotsb + C_v=0\tag{3} % [** inserted + before dots ]
\]
dont les racines sont $\gamma_1, \gamma_2, \dotsc, \gamma_v$.

Admettons que cette dernière équation soit résolue, et soit $\gamma_1$ l'une
de ses racines. Cette racine $\gamma_1$ étant la somme des $r$ valeurs
 $y_1, y_2, \dotsc, y_r$ de la fonction résolvante $y$ relatives à l'un des groupes du
tableau~\tagref{A}, au premier par exemple, toute fonction symétrique de
ces $r$ valeurs est semblable à cette racine $\gamma_1$ et par conséquent
exprimable en fonction rationnelle de $\gamma_1$ et des coefficients de
 l'équation~\tagref{3}, qui sont eux-mêmes des fonctions rationnelles des coefficients
 de l'équation proposée. Donc, on peut exprimer en fonction rationnelle de
 $\gamma_1$ et des données de la question, \primo la somme des produits
deux à deux de ces valeurs $y_1, y_2, \dotsc, y_r$; \secundo la somme de
leurs produits trois à trois, et ainsi de suite: d'où la formation de
\PG-----------------------File: 025.png----------------------------
l'équation
\[
  y^r - \gamma_1y^{r-1} + P_2y^{r-2} + \dotsb + P_r = 0
\]
dont les racines sont $y_1, y_2, \dotsc, y_r$.

De la même manière, l'on démontrerait que $\gamma_2, \gamma_3, \dotsc, \gamma_v$ étant
les autres racines de l'équation~\tagref{3}, on peut, avec les coefficients de
l'équation proposée, exprimer en fonction rationnelle \primo de $\gamma_2$,  les
coefficients de l'équation dont les racines sont les valeurs de $y$ relatives
au deuxième groupe du tableau~\tagref{A}; \secundo de $\gamma_3$, les coefficients de
l'équation dont les racines sont les valeurs de $y$ relatives au troisième
groupe du même tableau; et ainsi de suite pour les autres racines des
autres groupes; ce qui produit les équations
%
\begin{align*}
y^r - \gamma_2y^{r-1} + Q_2y^{r-2} + \dotsb + Q_r &= 0\,,\\
\multispan2\dotfill\\
y^r - \gamma_vy^{r-1} + U_2y^{r-2} + \dotsb + U_r &= 0\,.\footnotemarkT
\end{align*}\footnotetextT{Original has $\gamma_2$}

Ainsi, sans qu'on soit obligé de former l'équation résolvante $\phi(y) = 0$
de degré $s$, on peut former l'équation~\tagref{3} et, à l'aide de ses racines,
les équations en $y$ dont les racines sont celles de la résolvante: ce
qui démontre le théorème énoncé.

\begin{REMARQUE} Si on forme préalablement l'équation résolvante
$\phi(y) = 0$, on peut trouver d'une autre manière les coefficients $P_2, P_3, \dotsc, P_r$.
 Car l'équation $\phi(y) = 0$ contenant toutes les racines de
cette première équation en $y$ de degré $r$, $\phi(y)$ est exactement divisible
par le polynôme $y^r-\gamma_1y^{r-1} + P_2y^{r-2} + \dotsb + P_r$. Le reste de
cette division, de degré $r-1$, sera donc nul; et, en égalant à zéro
chacun de ses coefficients, on aura $r$ équations entre $\gamma_1, P_2, \dotsc, P_r$:
$r-1$ de ces équations détermineront les $r-1$ inconnues $P_2, P_3, \dotsc, P_r$ en
 fonction rationnelle de $\gamma_1$, puisque ce sont des fonctions
semblables; et l'équation restante sera satisfaite identiquement quand
on y remplacera ces coefficients par leurs valeurs.
\end{REMARQUE}

Les coefficients des autres équations en $y$ pourront être déterminés
de la même manière.

\begin{Thm}[III] Réciproquement: si l'équation résolvante
$\phi(y) = 0$ d'une équation irréductible quelconque, $F (x) = 0$, est
décomposable en facteurs de degrés moindres, à l'aide des racines
\PG-----------------------File: 026.png----------------------------
d'une équation $\Gamma$, de degré $v$, dont les racines sont des fonctions
rationnelles de celles de cette équation en $x$; les groupes de
permutations, faites avec les racines de cette même équation en $x$,
relatifs aux racines de l'équation en $y$ peuvent être partagés en
$v$ groupes de permutations inséparables: et ces équations de
degrés moindres sont toutes d'un même degré.
\end{Thm}

Admettons, en effet, que l'on ait
\[
\phi(y) = \psi_1(y,\gamma_1)\psi_2(y,\gamma_2) \dotsm \psi_v(y,\gamma_v)\,,\tag{4}
\]
$\gamma_1,\gamma_2, \dotsc, \gamma_v$ désignant les racines de l'équation en $\Gamma$ de degré $v$.
L'équation $\phi(y) = 0$ étant la résolvante de $F (x) = 0$, ses racines $y$
sont des fonctions rationnelles (\hyperlink{TheoremIII}{théorème~III}) de celles $x_0,x_1, \dotsc,x_{n-1}$
de cette équation en $x$; et son degré étant égal à $s$, les permutations
des $n$ racines $x$ peuvent être partagées, nous l'avons déjà dit, en
$s$ groupes de permutations inséparables pour tous les échanges de ces
racines, celles d'un même groupe faisant acquérir une même valeur
à $y$: supposons ce partage effectué, et soit (A) le tableau qui en résulte.

Par les mêmes raisons, les mêmes permutations des $n$ racines $x$
peuvent être partagées en $v$ groupes de permutations inséparables
pour tous les échanges de ces racines, celles d'un même groupe faisant
acquérir une même valeur à $\gamma$: supposons ce nouveau partage effectué
et soit (A$'$) le tableau, analogue à~\tagref{A}, qui en résulte.

Cela étant: je remarque que les valeurs de $y$ qui annulent les
facteurs $\psi_1, \psi_2, \dotsc, \psi_v$ sont respectivement fonction de $z_1,z_2,\dotsc,z_v$.
De là, il suit que si on considère d'abord toutes les permutations du
groupe du tableau~\tagref{A} relatif à l'une quelconque des valeurs $y_1,y_2,\dotsc,y_r$ qui annulent
l'un de ces facteurs, le premier par exemple,
$r$ désignant son degré; tous les échanges des lettres $x_0,x_1,\dotsc,x_{m-1}$,
qui n'altèrent pas cette valeur $y_1$, c'est-à-dire qui convertissent les
unes dans les autres les permutations de ce groupe, ne doivent pas
altérer non plus $z_1$. Car si quelques-uns de ces échanges transformaient
cette valeur $z_1$; ils ne pourraient, les groupes de~(A$'$) étant
inséparables, que transformer $z_1$ en une autre racine de l'équation
auxiliaire, en $z_h$ par exemple; et dès lors ces mêmes échanges
transformeraient les racines $y_1,y_2,\dotsc,y_r$ du facteur $\psi_1$ en celles du
facteur $\psi_h$; ce qui est contre l'hypothèse. Donc toutes les permutations
de ce groupe doivent se trouver dans celui du tableau~(A$'$) qui est
\PG-----------------------File: 027.png----------------------------
relatif à $z_1$. Si ensuite l'on considère toutes les permutations des
groupes de~\tagref{A} relatifs à ces $r$ valeurs de $y$, tous les échanges des
mêmes lettres qui convertissent ces groupes les uns dans les autres,
n'altèreront pas non plus cette même racine $z_1$ par une raison % aspell suggests n'altéreront but the scan is clearly n'altèreront
entièrement semblable. Donc encore, ces $r$ groupes de~\tagref{A} se trouvent
dans celui de~(A$'$) qui correspond à~$z_1$.

Ainsi, ce groupe de~(A$'$) se compose de toutes les permutations qui
sont relatives aux $r$ groupes de~\tagref{A} qui correspondent aux $r$ racines
de $\psi_1 = 0$. Il en est de même des autres groupes de~(A$'$) relatifs aux
autres racines $z_2, z_3, \dotsc, z_v$ de l'équation auxiliaire; chacun d'eux se
compose des permutations des autres groupes de~\tagref{A} qui correspondent respectivement aux racines $y$ des équations
$\psi_2 = 0, \psi_3 = 0, \dotsc, \psi_v = 0$.
Mais les racines $y$ des $v$ facteurs sont distinctes, donc les
$s$ groupes de~\tagref{A} sont d'abord partagés en $v$ groupes formant le
tableau~(A$'$); et puis, comme les permutations des groupes de ce
dernier tableau sont inséparables, le nombre de permutations, et par
conséquent le nombre de groupes de~\tagref{A} qui forment ceux de~(A$'$)
est le même pour tous ces derniers. En sorte que les $s$ groupes du
tableau~\tagref{A} peuvent être partagés en $v$ groupes de permutations inséparables; et de plus les
$v$ facteurs dans lesquels se décompose $\phi(y)$
sont d'un même degré $r$ tel que $s = vr$.

\begin{Thm}[IV] Pour que l'équation résolvante $\phi (y) = 0$, de
degré déterminé $s$, d'une équation irréductible $F (x) = 0$, soit
décomposable en $v$ équations, d'un même degré $r$ tel que $s = vr$,
à l'aide des racines d'une équation de degré $v$; il faut et suffit
que les $s$ groupes de permutations, faites avec les racines de $f(x)= 0$,
relatifs aux $s$ racines de cette équation en $y$, puissent être
partagés en $v$ groupes de permutations inséparables.
\end{Thm}

Ce théorème résulte en effet des deux précédents.

\begin{Thm}[V] Si une équation algébrique, irréductible et de
degré premier est soluble par radicaux, l'indice le plus élevé de
ces radicaux est égal au degré même de cette équation.
\end{Thm}

Soit $n$ le degré premier de l'équation irréductible à résoudre $f (x)
= 0$: puisque cette équation est irréductible et résoluble algébriquement,
 c'est-à-dire soluble par radicaux, il faut qu'à l'aide d'un radical $r$
\PG-----------------------File: 028.png----------------------------
d'un certain indice $i$, son premier membre soit décomposable en
facteurs.

Or, si la valeur $r_1$ de ce radical produit le facteur $f_1(x, r_1)$ de
degré $p$, chacune des autres valeurs de ce même radical $r_2, r_3, \dotsc r_i$
produira un facteur analogue et du même degré $p$. On aura donc
\[
  f(x) = f_1(x, r_1) \dotm f_2(x, r_2) \dotsm f_i(x, r_i)\,,\tag{5}
\]
et $ip = n$: mais $n$ est un nombre premier, $i$ est au moins égal à~$2$,
et $p$ est inférieur à $n$; donc $i = n$, et par suite $p = 1$.

Ce théorème appartient à Gallois.

\begin{REMARQUE} L'expression radicale $r$ dépendra en général de
radicaux d'indices inférieurs à $n$, comme nous le verrons bientôt.
\end{REMARQUE}

\begin{Thm}[VI] Si une équation algébrique et irréductible est
soluble par radicaux, et si son degré $m$ est un nombre composé,
$m = nq$ ($n$ étant premier) les racines de cette équation contiennent
le radical d'indice~$n$.
\end{Thm}

Puisque cette équation algébrique, $f(x) = 0$, est irréductible et
soluble par radicaux, son premier membre est décomposable en
facteurs de degrés moindres, à l'aide d'un radical $r$ d'un certain
indice $i$. Or, si la valeur $r_1$ de ce radical produit le facteur $f_1(x, r_1)$
de degré $p$, chacune des autres valeurs de ce même radical,
$r_2, r_3, \dotsc, r_i$ produira un facteur analogue de même degré $p$. On
aura donc
\[
  f(x) = f_1(x, r_1) \dotm f_2(x, r_2) \dotsm f_i(x, r_i)\,,\tag{6}
\]
$m = ip$, et par suite $ip = nq$.

Cela posé: examinons d'abord le cas où le degré $m$ de l'équation
est égal au produit de deux facteurs premiers, $m = nn_1$. Dans ce
cas l'équation précédente devient $ip = nn_1$; et comme $n$ divise le
second membre, il doit diviser le premier; mais, $n$ étant premier, ce
nombre doit diviser ou $i$ ou $p$, on a donc soit $i = hn$, soit $p = kn$.

L'hypothèse $p = kn$ est inadmissible; car, si elle était vraie, on
aurait $ik = n_1$, ce qui est impossible puisque $n_1$ est premier. Par la
même raison on ne peut avoir $i = hn$, car cette hypothèse entraînerait
l'équation $ph = n_1$. On doit donc avoir ou $p = n$, ou $i = n$:
\PG-----------------------File: 029.png----------------------------
l'hypothèse $i = n$ convient au théorème énoncé, et celle de $p = n$
donne $i = n_1$, qui est également un nombre premier.

Ainsi, dans le cas de $m = nn_1$, le théorème est démontré.

Supposons actuellement que $m$ soit égal au produit de trois facteurs
premiers, $m = nn_1n_2$. Dans ce nouveau cas, l'équation $ip = nq$
devient $ip = nn_1n_2$; et comme dans le premier cas on devrait avoir
soit $i = h n$, soit $p = k n$. Cette dernière hypothèse entraîne l'équation
$ik = n_1n_2$, qui exige elle-même, d'après ce qui vient d'être dit,
que $i = n_1$ ou $k = n_1$: mais $k = n_1$ donne $i = n_2$, donc $i$ est encore
égal à un des facteurs premiers de $m$. Et la première hypothèse
$i = hn$ entraîne l'équation $ph = n_1n_2$ qui exige elle-même que
$p = n_1$ ou $p = n_2$, c'est-à-dire que $p$ soit un nombre premier, $p = n_2$
par exemple. Ainsi chacun des facteurs du second membre de
l'équation~\tagref{6} est d'un même degré premier $n_2$. Donc chacun d'eux
est (\hyperlink{TheoremV}{théorème~V}) décomposable en facteurs du premier degré, à l'aide
des valeurs d'un radical dont l'indice est égal à ce nombre premier $n_2$.
Or, la décomposition de $f (x)$ en ces facteurs du premier degré
produira, par la multiplication, une nouvelle décomposition de $f (x)$
en $n_2$ facteurs, de degré $nn_1$, à l'aide de ce radical d'indice premier $n_2$.
Donc le théorème est encore vrai dans le cas où $m = nn_1n_2$.

Cette démonstration peut évidemment être généralisée, et être
étendue au cas où $m$ est égal au produit d'un nombre quelconque de
facteurs premiers égaux ou inégaux.

Ainsi, l'équation~\tagref{6} existe dans tous les cas; $i$ étant égal à $n$, et
le degré $p$, commun aux $n$ facteurs de son second membre, étant
égal à~$q$.
%
\PG-----------------------File: 030.png----------------------------
\ThoughtBreak
\chapter{DES ÉQUATIONS RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT}

\begin{Thm}[VII] Pour résoudre une équation algébrique, irréductible
 et de degré premier $n$, il est nécessaire et suffisant de résoudre
 deux équations; l'une de degré $n-1$, l'autre de degré
$1 \dotm 2 \dotm 3 \dotsm (n-2)$.
\end{Thm}

Rappelons auparavant que le degré $n$ de l'équation proposée $f(x)= 0$
étant premier, tout nombre entier $p$ inférieur à $n$ jouit de cette
propriété que les résidus à $n$ de la suite
\[
p,\quad  2p,\quad  3p,\quad  \dotsc,\quad \overline{n-1}p
\]
sont les nombres naturels $1, 2, 3, \dotsc, n-1$ dans un ordre déterminé.
De même, $\rho$ étant une des racines \emph{primitives} de $n$, les résidus à $n$ de
l'une et de l'autre suites
%
\begin{gather*}
p,\quad  p\rho,\quad   p\rho^2,\quad  \dotsc,\quad  p\rho^{n-2},\\
p\rho^h,\quad  2p\rho^h,\quad   3p\rho^h,\quad \dotsc,\quad \overline{n-1}p\rho^h,
\end{gather*}
%
sont encore les nombres naturels $1, 2, 3, \dotsc, n-1$, dans un ordre
déterminé; $h$ désignant un nombre entier quelconque inférieur à $n-2$,
ou au plus égal à ce nombre.

On peut donc représenter les racines de l'équation proposée, $f(x) = 0$,
par l'une des suites
\[
\begin{array}{l l l l l}
x_a, & x_{a + p}, & x_{a + 2p}, & \dotsc, & x_{a + \overline{n-1}p},\\
x_a, & x_{a + p}, & x_{a + p\rho}, & \dotsc, & x_{a + p\rho^{n-2}},\\
\hdotsfor{5}   \\
x_a, & x_{a + p\rho^h}, &x_{a + 2p\rho^h}, & \dotsc, & x_{a + \overline{n-1}p\rho^h},
\end{array}
\]
$a$ désignant l'un des nombres entiers $0,1, 2, \dotsc, n-1$.
\PG-----------------------File: 031.png----------------------------

Enfin $r$ et $\alpha$ désignant deux racines imaginaires différentes de
l'équation binôme $x^{n-1}=0$, ces racines sont $r, r\alpha, r\alpha^2, \dotsc,  r\alpha^{n-1}$;
ou bien $1, \alpha, \alpha^2, \dotsc, \alpha^{n-1}$. Donc elles pourront être représentées par
l'une des suites
\[
\begin{array}{ccccc}
r, & r\alpha^p, & r\alpha^{2p}, &\dotsc, & r\alpha^{\overline{n-1}p},\\
1, & \alpha^p, & \alpha^{p\rho}, &\dotsc, & \alpha^{p\rho^{n-2}},\\
\hdotsfor{5}\\
1, & \alpha^{p\rho^h}, & \alpha^{2p\rho^h}, &\dotsc, & \alpha^{\overline{n-1}p\rho^h}.
\end{array}
\]

Cela posé: nous allons d'abord démontrer que les conditions de
l'énoncé sont nécessaires; et pour cela nous admettrons que l'équation % aspell suggests l'énonce but the scan is clearly l'énoncé
proposée est résoluble algébriquement.

L'équation proposée étant en effet résoluble par hypothèse, l'équation~\tagref{5}
existe, et elle deviendra, d'après ce qui précède,
\[
f(x) = f_1(x_a, r)\dotm f_2(x_{a+p}, r\alpha^p) \dotsm f_n(x_{a+\overline{n-1}p}, r\alpha^{\overline{n-1}p})\,,\tag{7}
\]
chacun des $n$ facteurs du second membre étant du premier degré par
rapport à~$x$.

Or, toutes les racines d'une équation irréductible ont un même
caractère qui sert à les déterminer, celui de satisfaire identiquement
à cette équation; on peut donc, dans l'équation~\tagref{7}, changer la racine $r$
en la racine $r\alpha^p$; auquel cas $r\alpha^p, r\alpha^{2p}, \dotsc, r\alpha^{\overline{n-1}p}$ se changent
respectivement en $r\alpha^{2p}, r\alpha^{3p}, \dotsc, r$: et cet échange de racines,
[équation~\tagref{7}], transforme celles de l'équation proposée $f (x) = 0$,
$x_a, x_{a+p}, \dotsc, x_{a + \overline{n-1}p}$, respectivement en $x_{a+p}, x_{a+2p}, \dotsc, x_a$; c'est-à-dire
la permutation $x_a, x_{a+p}, \dotsc,  x_{a+\overline{n-1}p}$ en la permutation \emph{circulaire}
$x_{a+p}, x_{a+2p}, \dotsc, x_a$. % [** added commas around dots ]

Mais ce changement n'en amène aucun dans le second membre de
l'équation~\tagref{7}; donc, quelle que soit la fonction \emph{résolvante} $y$ de
l'équation proposée qui ait produit sa décomposition, cette fonction $y$
est inaltérable par la permutation circulaire précédente, et par suite par
les $n$ permutations circulaires de cette première $x_a, x_{a+p}, \dotsc, x_{a+\overline{n-1}p}$.

De plus, on peut également changer $p$ qui est arbitraire en $p\rho^h$ qui
est tout aussi arbitraire; et ce changement transforme la suite des
$n-1$ racines imaginaires
\[
\alpha^p,\quad  \alpha^{2p},\quad \dotsc,\quad  \alpha^{\overline{n-1}p}\,,
\]
\PG-----------------------File: 032.png----------------------------
en la suite
\[
\alpha^{p\rho^h},\quad \alpha^{2p\rho^h},\quad \dotsc,\quad \alpha^{\overline{n-1}p\rho^h}\,; % [** fixed typo a for \alpha in 2nd term]
\]
et ce même changement transforme les racines de $f(x) = 0$, équation~\tagref{7},
$x_a, x_{a + p}, \dotsc, x_{a + \overline{n-1}p}$ respectivement en les racines
$x_a, x_{a+p\rho^h}, x_{a+2p\rho^h}, \dotsc, x_{a+\overline{n-1}p\rho^h}$;
c'est-à-dire la permutation
\[
x_a, x_{a+p}, x_{a+2p}, \dotsc, x_{a+\overline{n-1}p} % [** added commas around dots ]
\]
en la permutation
\[
x_a, x_{a+p\rho^h}, x_{a+2p\rho^h}, \dotsc, x_{a+\overline{n-1}p\rho^h} % [** ditto ]
\]
qui correspond, théorème~IV d'un autre Mémoire\footnote{Voir le 6\ieme{} volume, 2\ieme{} série,
 du journal publié par M.~Liouville, p.~425.}, à l'un quelconque des polygones étoilés de Poinsot.

Or, ce changement n'en amène aucun dans le second membre
de l'équation~\tagref{7}, et cela quelle que soit la valeur de $p$; donc la
fonction résolvante $y$ jouit encore de la propriété d'être inaltérable
par les $n-1$ permutations relatives aux $n-1$ polygones étoilés de
Poinsot qui constituent un \emph{seul et même} ordre.

Or, ces deux changements sont les seuls qui n'altèrent pas la
décomposition de $f(x)$, équation~\tagref{7}, donc cette fonction résolvante
n'est inaltérable que par les $n$ permutations circulaires et par les
$n-1$ permutations d'un même ordre que produit une permutation
quelconque des $n$ racines de l'équation proposée; et par conséquent le nombre $s$
de ses valeurs distinctes est donné par la formule
\[
s = \frac{1\dotm 2\dotm 3 \dotsm n}{n(n-1)}
  =       1\dotm 2\dotm 3 \dotsm (n-2)\,.
\]

Cette fonction dépend donc d'une équation de ce degré qu'il serait
toujours possible de former avec les coefficients de l'équation proposée,
si la forme de cette fonction était connue; équation dont les
racines sont relatives aux $1, 2, 3, \dotsc, (n-2)$ groupes de la deuxième
classification du même Mémoire.

Quelle est la forme de cette fonction résolvante $y$? Je remarque à
cet effet que si cette fonction était composée de $r$ termes distincts et
relatifs aux $n(n-1)$ permutations pour lesquelles elle doit conserver
\PG-----------------------File: 033.png----------------------------
 une même valeur, les équations auxiliaires, analogues à celles en
$y$ du \hyperlink{TheoremII}{théorème~II}, seraient du degré $r$. Il est donc indispensable de
rendre $r$ le plus petit possible.

Or, la théorie de l'ordre étant indépendante de la notion de grandeur
et n'étant relative qu'à la notion de situation, nous pouvons
placer les $n$ racines de l'équation proposée sur une circonférence de
cercle de rayon arbitraire, à égales distances les unes des autres, et
dans l'ordre de la permutation, d'ailleurs quelconque, $x_a, x_{a + p},
x_{a+ 2p}, \dotsc, x_{a+\overline{n-1}p}$; % [** inserted commas either side of dots]
 la racine $x_a$ étant placée à l'origine des arcs. Et
si nous joignons le centre à ces $n$ points de division, ces $n$ rayons
représenteront les $n$ racines $n$\ieme{} de l'unité $1, \alpha, \alpha^2, \dotsc, \alpha^{n-1}$; $\alpha$ étant
l'une d'elles, mais différente de l'unité.

Or, pour amener la permutation circulaire $x_{a+p}, x_{a + 2p}, \dotsc, x_a$ dans % [** inserted commas either side of dots ]
la position de la première, il faut multiplier chacune des racines $n$\ieme{}
de l'unité par $\alpha^{n-1}$; et puisque la fonction résolvante $y$ doit être
invariable pour toute permutation circulaire, chaque terme de cette
fonction doit donc être de la forme
\[
z_1 = \left(x_a + \alpha x_{a+p} + \alpha^2x_{a+2p} + \dotsb + \alpha^{n-1}x_{a+\overline{n-1}p}\right)^n\,; \tag{8}
\]
expression qui est telle en effet qu'en multipliant le polynôme
soumis à l'exposant $n$ par $\alpha^{n-1}$, on obtient le polynôme
\[
x_{a+p} + \alpha x_{a+2p} + \dotsb + \alpha^{n-2}x_{a+\overline{n-1}p} + \alpha^{n-1}x_a\,,
\]
offrant la permutation circulaire de la disposition du premier, et qui
cependant conserve sa valeur $z_1$ puisque
\[
\alpha^{(n-1)n} = (\alpha^n)^{n-1} = 1\,.\footnote
{C'est ainsi qu'on retrouve la fonction $z_1$ de Lagrange appelée \emph{résolvante} par cet illustre
géomètre.}% also silently correcting ; to . and shifting footnote after punctuation
\]

Cette fonction~\tagref{8}, étant invariable pour une permutation circulaire,
est invariable pour les $n$ permutations circulaires déduites de la
première; d'autant qu'il suffirait de multiplier successivement $z_1$ par
$(\alpha^{n-2})^n = 1$, $(\alpha^{n-3})^n = 1 \dots$ Mais cette même fonction prend $n-1$
valeurs distinctes $z_1, z_2, \dotsc, z_{n_1}$, pour les $n-1$ autres permutations % [** inserted comma after dots]
pour lesquelles $y$ doit conserver une même valeur, celles qui se
\PG-----------------------File: 034.png----------------------------
rapportent aux $n-1$ polygones étoilés de Poinsot; donc les équations,
analogues à celles en $y$ du \hyperlink{TheoremII}{théorème~II}, sont du degré $n-1$; et la
fonction résolvante $y$ sera définie d'après ce théorème, par l'expression
\[
y = z_1 + z_2 + z_3 + \dotsb + z_{n-1}\tag{9} % [** inserted + after dots]
\]
qui est la fonction symétrique la plus simple de ces $n-1$ valeurs. Il
est utile de remarquer que ces $n-1$ valeurs peuvent être déduites
de $z_1$, en $y$ remplaçant successivement $p$ par $p \rho, p \rho^2, \dotsc, p \rho^{n-2}$.

D'après ce qui a été démontré dans ce même \hyperlink{TheoremII}{théorème~II}, on peut,
avec cette fonction~\tagref{9} et avec les coefficients de l'équation proposée
former l'équation en $y$ du degré $1 \dotm 2 \dotm 3 \dotsm (n-2)$ et avec l'une de
ses racines, former celle en $z$ du degré $n-1$: et pour résoudre
l'équation donnée résoudre cette dernière équation qui a pour racines
$z_1, z_2, \dotsc , z_{n-1}$.


\begin{COROLLAIRE} Si dans le calcul précédent on fait $n = 3$\DPpdfbookmark[2]{Corollaire}{CorollaireVII}, c'est-à-dire
si l'équation donnée est du 3\ieme{} degré, l'équation en $y$ se réduit au
premier degré, et celle en $z$ au deuxième. Donc la fonction $y = z_1 + z_2$
est une fonction rationnelle des coefficients de l'équation proposée, et
les valeurs $z_1, z_2$ et par suite les racines $x_0, x_1, x_2$ de cette équation
peuvent être déterminées en fonction de ses coefficients. Les expressions
de ces racines contiendront deux radicaux cubiques et un radical
carré.
\end{COROLLAIRE}

On a donc ce théorème: \emph{Toute équation du troisième degré est
soluble par radicaux.}

\begin{Thm}[VIII]
Pour résoudre une équation algébrique
irréductible et de degré composé $m = nq$, $n$ étant premier, il est
nécessaire et suffisant de résoudre $n$ équations de degré $q$; et deux
autres équations, l'une de degré $n-1$ et l'autre de degré $s$ donnée
par la formule
\[
s = \frac{1\dotm 2\dotm 3 \dotsm m}{(1\dotm 2\dotm 3 \dotsm q)^n \dotm n(n-1)}
\]
\end{Thm}

En conservant les notations du théorème précédent, et en admettant
que l'équation proposée, $f(x) = 0$, soit soluble; l'équation~\tagref{6} sera
vraie et elle deviendra
\[
f(x) = f_1(x,r) \dotm f_2(x,r \alpha^p) \dotm f_3(x, r\alpha^{2p}) \dotsm f_n(x, r \alpha^{\overline{n-1}p})\,, \tag{10}
\]
\PG-----------------------File: 035.png----------------------------
analogue à l'équation~\tagref{7}, avec cette différence qu'ici les facteurs sont
d'un même degré $q$ différent de l'unité. Or, en permutant les $q$ racines
d'un des facteurs du second membre, ce facteur est invariable. Donc
ces permutations n'altèrent pas la décomposition~\tagref{10} de $f(x)$; et par
suite la fonction résolvante $y$ de l'équation proposée, qui produit cette
décomposition, doit être invariable par les permutations des $q$ racines
d'un quelconque de ces facteurs. Mais le nombre de permutations
de $q$ lettres est égal à $1\dotm 2\dotm 3 \dotsm q$, et il y a $n$ facteurs, donc $y$ doit
être invariable pour un nombre de permutations égal à $(1\dotm 2\dotm 3 \dotsm q)^n$.

De plus, si on considère une fonction symétrique quelconque des
$q$ racines d'un des facteurs de l'équation~\tagref{10}, par exemple la somme,
et si on désigne par $X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{a + \overline{n-1} p}$ les sommes respectives
des $q$ racines du 1\ier, du 2\ieme, \dotsc, du $n$\ieme{} facteur, il est clair que ces
sommes jouissent des mêmes propriétés que les racines $x_a, x_{a+p}, \dotsc,
x_{a + \overline{n -1}p}$ du théorème précédent. Donc la fonction résolvante $y$ de
$f(x) = 0$ jouit encore de cette propriété, d'être invariable et par
les $n$ permutations circulaires et par les $n-1$ permutations d'un
\emph{même ordre}, relatif à une permutation quelconque des $n$ lettres $X_a,
X_{a + p}, \dotsc, X_{a + \overline{n - 1}p}$.

Or ces 3 changements sont les seuls qui n'altèrent pas la décomposition~\tagref{10}
de l'équation proposée $f(x)=0$; donc cette fonction
résolvante n'est invariable que par le nombre de permutations déterminé
par la formule
\[
(1\dotm 2\dotm 3 \dotsm q)^n \dotm n(n-1)\,,
\]
dès lors le nombre des valeurs distinctes est donné par la formule
\[
s = \frac{1\dotm 2\dotm 3 \dotsm m}{(1\dotm 2\dotm 3 \dotsm q)^n \dotm n (n - 1)}\,.
\]

Cette fonction dépend donc d'une équation algébrique de degré $s$
qu'il est possible, dans tous les cas, de former avec les coefficients de
l'équation donnée, si la forme de cette fonction est connue. Et cette
fonction résolvante $y$ est déterminée par la formule
\[
y = Z_1 + Z_2 + \dotsb + Z_{n-1}\,,\tag{11}
\]
dans laquelle $Z_1$ désigne la fonction
\[
Z_1 = (X_a + \alpha X_{a + p} + \alpha^2 X_{a + 2p}+ \dotsb
 + \alpha^{n-1} X_{a + \overline{n -1}p})^n\,, % [** inserted + before dots]
\]
\PG-----------------------File: 036.png----------------------------
et $ Z_2, Z_3, \dotsc, Z_{n-1} $ les valeurs qu'on déduit de $Z_1$ en remplaçant
successivement $p$ par $ p\rho, p\rho^2, \dotsc, p\rho^{n-2} $: car il résulte de ce qui
précède que $ X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{ a + \overline{n-1}p } $ jouissent, dans ce théorème,
 des mêmes propriétés que $ x_a, x_{a+p}, \dotsc, x_{ a + \overline{n-1}p } $ dans le théorème
précédent.

Or, ce dernier théorème prouve qu'on peut former, avec la fonction~\tagref{11},
l'équation résolvante en $y$; et, avec l'une de ses racines,
l'équation en $Z$ du degré $n-1$ dont les racines sont $ Z_1, Z_2, \dotsc, Z_{n-1} $.
Il prouve de plus que cette dernière équation doit être résolue, et
qu'on aura par suite, par des équations en tout semblables aux
équations~\tagref{10}, les valeurs de $ X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{ a + \overline{n-1}p } $.
Mais, connaissant la somme $X_a$ de $q$ racines de l'équation proposée, on peut
déterminer en fonction rationnelle de $X_a$ toute fonction symétrique
des mêmes racines, et par conséquent former l'équation
\[
  x^q - X_ax^{q-1} + C_2x^{q-2} + \dotsb + C_q = 0\,,
\]
dont les racines sont ces $q$ racines.

Car, ces $q$ racines étant dans l'équation proposée $ f(x) = 0 $, le
premier membre $f(x)$ est divisible par le premier membre de
l'équation à former. On devra donc égaler à zéro les $q$ coefficients
du reste de cette division; et $q-1$ de ces équations détermineront
les $q-1$ coefficients inconnus $ C_2, C_3, \dotsc, C_q $ en fonction \emph{rationnelle}
de $X_a$, puisque ces coefficients sont semblables à $X_a$. Et en remplaçant
successivement dans les expressions de ces coefficients
$X_a$ par $ X_{a+p}, X_{a+2p}, \dotsc, X_{ a + \overline{n-1}p }$,
on aura les équations dont les racines sont celles
qui ont pour somme respectivement
 $X_{a+p}, X_{a+2p}, \dotsc, X_{ a + \overline{n-1}p }$. Il
faudra donc résoudre ces $n$ équations, de degré $q$, pour avoir les
racines de l'équation proposée.

Donc les conditions énoncées du théorème à démontrer sont
nécessaires.

Elles sont de plus suffisantes: car, si on résout l'équation en $y$ de
degré $s$, ainsi que celle en $Z$ de degré $n-1$, on peut obtenir les
$n$ équations en $x$, d'un même degré $q$, dont la résolution entraîne
celle de l'équation proposée.


\begin{COROLLAIRE} Si dans le calcul précédent on fait $m = 2 \dotm 2 = 4$\DPpdfbookmark[2]{Corollaire}{CorollaireVIII},
c'est-à-dire si l'équation à résoudre est du quatrième degré, l'équation
\PG-----------------------File: 037.png----------------------------
en $y$ est du troisième degré et l'équation en $Z$ du premier. Or toute
équation du troisième degré est résoluble algébriquement, donc il est
possible d'avoir ses trois racines en $y$; et par suite de former, avec
l'une d'elles et avec les coefficients de l'équation proposée, les deux
équations du second degré dont les racines sont les quatre de la
proposée.
\end{COROLLAIRE}

Ainsi, la résolution de toute équation du quatrième degré se ramène
à celle d'une équation du troisième degré et à celles de deux équations
du second. D'où ce théorème: \emph{toute équation du quatrième degré
est soluble par radicaux}.


\begin{Thm}[IX] Il est impossible de résoudre algébriquement
les équations générales de degré supérieur au quatrième.
\end{Thm}

En premier lieu: les équations des quatre premiers degrés sont
résolubles algébriquement; car toute équation du premier degré est
résoluble et sa racine est rationnelle par rapport aux coefficients; et
les équations des 2\ieme, 3\ieme{} et 4\ieme{} degrés sont également résolubles
algébriquement par une même méthode, celle de l'équation résolvante,
comme cela résulte de la théorie bien connue des équations du second
degré\footnote{La résolution de toute équation du second degré, $x^2 + A_1x + A_2 = 0$, n'échappe pas à
cette méthode: et ici la fonction résolvante devient $y = (x_1-x_2)^2$ qui, étant symétrique
par rapport aux racines, s'exprime en fonction rationnelle des coefficients $A_1, A_2$, de l'équation
proposée. On a, en effet, $y = (x_1-x_2)^2=(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = A_1^2 - 4A_2$, et comme
$x_1 + x_2 = -A_1$, on a deux équations desquelles on déduit les deux racines.}
 et des corollaires des théorèmes~\hyperlink{CorollaireVII}{VII} et \hyperlink{CorollaireVIII}{VIII}. Les racines des
équations du second degré contiennent un radical carré; et celles des
équations des troisième et quatrième degrés, des radicaux carrés et
cubiques.

En second lieu il résulte: \primo du \hyperlink{TheoremVII}{théorème~VII}, que pour résoudre
une équation de degré premier $n$, il faut nécessairement résoudre
d'abord une équation de degré $1\dotm 2\dotm 3 \dotsm (n-2)$, produit supérieur
à $n$, puisque pour la plus petite valeur 5 de $n$, $1\dotm 2\dotm 3 \dotsm (n-2) = 6$ % [** inserted dots after 3]
qui est supérieur à 5 et que, pour des nombres supérieurs à 5, \emph{a
fortiori} on a $1\dotm 2\dotm 3 \dotsm (n-2) > n$.

Or, les racines de cette équation sont les valeurs de $y$~\tagref{9} relatives
aux groupes de la deuxième classification de notre Mémoire déjà cité
en nombre $1\dotm 2\dotm 3 \dotsm (n-2)$: chacun d'eux étant un seul et même
\PG-----------------------File: 038.png----------------------------
ordre vu successivement de chacune des $n$ racines de l'équation
proposée. Mais ces groupes ou ordres ne peuvent pas être partagés en
nouveaux groupes de permutations inséparables\footnote{Voir la \hyperlink{section.2.3}{note} placée à la fin de ce mémoire.};
 donc, \hyperlink{TheoremIII}{théorème~III}, cette équation, dont le degré est supérieur à~$4$, ne peut
être décomposée en d'autres de degrés moindres. \secundo Il résulte du
\hyperlink{TheoremVIII}{théorème~VIII} que pour résoudre une équation de degré composé
$m = nq$, $n$ étant premier, il faut d'abord résoudre nécessairement
une équation du degré
\[
\frac{1\dotm 2\dotm 3 \dotsm m}
     {(1\dotm 2\dotm 3 \dotsm q)^n\dotm n(n-1)}\,,
\]
nombre supérieur à $n$ pour la plus petite valeur $6$ de $m$ et qui \emph{a
fortiori} est encore supérieur à $m$ pour tous les nombres plus grands
que~$6$.

Or, les racines de cette équation sont les valeurs~\tagref{11} de $y$ relatives
à tous les ordres formés avec les $n$ quantités $X_a, X_{a+p}, \dotsc,
 X_{a+\overline{n-1}p}$\footnoteT{Original has $X_{a+\overline{m-1}p}$}, % [** if there are n quantities this has to be a+(n-1)p not a+(m-1)p]
\emph{considérées comme des lettres}, dans lesquelles on échange les
racines de l'équation proposée $f (x) = 0$, que ces quantités contiennent;
 mais, d'après la même note, les ordres ne peuvent être partagés
en groupes de permutations inséparables: donc, même \hyperlink{TheoremIII}{théorème~III},
cette équation en $y$ est indécomposable en d'autres de degrés
moindres.

Donc, quel que soit le degré $m$ de l'équation proposée, que ce
degré $m$ soit premier ou composé, s'il est supérieur à~$4$, la résolution
de cette équation dépend essentiellement de la résolution d'une autre
équation non résoluble et d'un degré supérieur à celui de la proposée:
il est donc impossible de résoudre les équations générales de degré
supérieur au quatrième.



\section{Recherche d'une classe d'équations résolubles algébriquement.}

Puisqu'il est impossible de résoudre algébriquement les équations
générales de degré supérieur au quatrième, on doit chercher les
conditions nécessaires et suffisantes qui doivent exister entre les
\PG-----------------------File: 039.png----------------------------
racines d'une équation irréductible, de degré supérieur à~$4$, pour que
cette équation soit résoluble algébriquement. Et d'abord, nous allons
déterminer, à l'aide de nos principes, une classe d'équations, solubles
par radicaux, qui jouent un rôle important dans la recherche de
toutes les équations résolubles algébriquement.

Il résulte, en effet, \primo du \hyperlink{TheoremI}{théorème~I} que la résolution de toute
équation algébrique et irréductible, $f (x) = 0$, dépend de la résolution
de son équation résolvante $\phi (y) = 0$; \secundo du \hyperlink{TheoremIV}{théorème~IV} que
cette équation $\phi (y) = 0$ n'est décomposable en facteurs de degrés
moindres, à l'aide de racines d'une équation auxiliaire de degré $v$,
qu'autant que les $s$ groupes de permutations où $x_0, x_1, \dotsc, x_{m-1}$,
relatifs aux $s$ racines de cette résolvante, peuvent être partagés en
$v$ groupes de permutations inséparables. On aura donc des équations
solubles par radicaux, en cherchant les conditions nécessaires et
suffisantes qui doivent exister entre les racines de l'équation proposée
pour que le degré commun $r$ aux équations en $y$ du \hyperlink{TheoremII}{théorème~II} soit
égal à l'unité et pour que le degré $v$ de l'équation auxiliaire~\tagref{3} en $z$
soit aussi égal à l'unité; auquel cas le degré $s$ de l'équation résolvante
est aussi égal à l'unité, puisque $s = vr$. De là il suit que si (A) est le
tableau des groupes de permutations relatifs à l'équation $\phi (y) = 0$,
la fonction résolvante $y$ doit être invariable pour tous ces $s$ groupes.

Distinguons actuellement deux cas: celui où le degré de l'équation
proposée $f(x)= 0$ est un nombre premier $n$, et celui où ce degré
est un nombre composé.

Dans le premier cas, $m = n$, la fonction résolvante est définie par
la formule~\tagref{9} dans laquelle $z_1$ désigne la fonction~\tagref{8}, \hyperlink{TheoremVII}{théorème~VII};
il résulte donc de ce qui précède, que cette expression $y$ ne doit avoir
qu'une valeur et être égale par conséquent à une fonction rationnelle
et symétrique des racines de l'équation proposée; et ce résultat sera
atteint si $z_1$ est dans le même cas que $y$. Or, comme cette expression
$z_1$ n'est invariable que par les $n$ permutations circulaires d'une permutation
quelconque des $n$ racines de la proposée, ou ce qui est la
même chose, quand on y remplace $a$ successivement par les valeurs
$a + p, a + 2p, \dotsc, a + \overline{n-1}p$. Donc cette exposition $z_1$ doit
pouvoir se réduire à ne contenir qu'une seule de ces racines; ce qui
exige que $n-1$ d'entre elles soient des fonctions rationnelles de
l'une d'elles: et de plus, quelle que soit la fonction rationnelle de
\PG-----------------------File: 040.png----------------------------
$x_a$ qui soit égale à $x_{a+p}$, la racine $x_{a + 2p}$ doit dépendre de $x_{a+p}$
comme celle-ci dépend de $x_a$, la racine $x_{a + 3p}$ doit dépendre de
$x_{a+2p}$ de la même manière, et ainsi de suite, et enfin $x_a$ sera liée à
$x_{a + \overline{n-1}p}$ par la même relation.

Ainsi, si $x_{a + p} = \theta (x_a)$, on doit avoir
\[
x_{a+2p} = \theta (x_{a+p}), \quad x_{a+3p} = \theta (x_{a+2p}),
\quad \dotsc, \quad x_a = \theta (x_{a+\overline{n-1}p})\,;
\]
en d'autres termes les racines de l'équation proposée doivent être
représentées par la suite
\[
x_a,  \quad \theta x_a, \quad \theta^2x_a,\quad \dotsc, \quad \theta ^{n-1}x_a\,,
\]
$\theta$ désignant une fonction rationnelle telle que $\theta^nx_a = x_a$, et $\theta^2, \theta^3, \ldots$
désignant des indices d'opérations à répéter.

Effectivement l'expression
\[
r_1 = (x_a + \alpha\theta x_a + \alpha^2\theta^2x_a + \dotsb + \alpha^{n-1}\theta^{n-1}x_a)^n = \psi(x_a)\,,
\]
peut être exprimée en fonction rationnelle des coefficients de $f(x)$
et de $\theta$. Car cette expression étant invariable pour les $n$ permutations
 circulaires des $n$ racines, elle conservera la même valeur en
y remplaçant successivement $x_a$ par $\theta x_a, \theta^2x_a, \dotsc, \theta^{n-1}x_a$.
 On a donc
\[
\psi(x_a) = \psi(\theta x_a) = \psi(\theta^2x_a) = \dotsb = \psi(\theta^{n-1}x_a)\,,
\]
et par conséquent
\[
n\psi(x_a) = \psi(x_a) + \psi(\theta x_a) + \dotsb + \psi(\theta^{n-1}x_a)\,;
\]
relation dont le second membre est une fonction symétrique des
racines de l'équation proposée $f (x) = 0$.

Dans le second cas, $m = nq$, la fonction résolvante est définie par
l'équation~\tagref{11}; et, si on applique à $Z_1$ le même raisonnement qu'à $z_1$,
on aura ce résultat, en observant que $X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{a+\overline{n-1}p}$ dont se
compose $Z_1$ sont des sommes d'un même nombre de racines de
l'équation proposée; pour que l'équation auxiliaire en $z$ soit du
premier degré et pour que l'équation en $y$ soit aussi du premier degré,
il est nécessaire que les racines de l'équation proposée soient représentées
\PG-----------------------File: 041.png----------------------------
par la suite
\[\tag{12}
x_a,\quad \theta x_a,\quad \theta^2 x_a,\quad \dotsc,\quad \theta^{m -1} x_a\,,
\]
$\theta$ désignant une fonction rationnelle telle que $\theta^m x_a = x_a$.

Ajoutons qu'on démontrerait absolument de la même manière que
l'expression analogue à $z_1$,
\[\tag{13}
y = (x_a + \alpha \theta x_a + \alpha^2 \theta^2 x_a + \dotsb + \alpha^{m -1} \theta^{m-1} x_a)^m,
\]
invariable par les $m$ permutations circulaires des $m$ racines est une
fonction symétrique de ces racines, $\alpha$ désignant une des racines
imaginaires de $x^m-1 = 0$: puisque le raisonnement appliqué à $z_1$
est indépendant de cette considération que l'exposant $n$ est premier.

On obtient donc ce résultat: l'équation résolvante et, par suite,
l'équation auxiliaire d'une équation algébrique quelconque irréductible
sont du premier degré, si les racines de celle-ci sont représentées par
la suite~\tagref{12}.

Nous pouvons actuellement démontrer le théorème suivant qui est,
en quelque sorte, la réciproque de ce dernier résultat.

\begin{Thm}[X]
Si les $m$ racines d'une équation algébrique
quelconque peuvent être représentées par la suite
\[
x_a,\quad \theta x_a,\quad \theta^2 x_a,\quad \dotsc,\quad \theta^{m -1} x_a\,,
\]
$\theta x_a$ désignant une fonction rationnelle telle que $\theta^m x_a = x_a$ l'équation
est toujours soluble par radicaux.
\end{Thm}

En effet, l'hypothèse faite sur les racines de l'équation proposée
permet d'exprimer, en fonction rationnelle des coefficients de cette
équation et de ceux de la fonction $\theta$, la fonction $y$ définie par l'expression~\tagref{13}.
Soit donc $v$ la valeur connue de cette fonction, on aura, en
désignant par $1, \alpha_1, \alpha_2, \dotsc, \alpha_{m-1}$, les $m$ racines de l'équation $x^m-1
= 0$, les $m$ équations
\[
\def\arraycolsep{2pt}
\begin{array}{rcrcrcrcl} % [** made the one under the dots line up with the others]
x_a &+ &\theta x_a &+& \theta^2 x_a &+ \dotsb +& \theta^{m -1} x_a &=& - A_1\,,\\
x_a &+ &\alpha_1 \theta x_a &+& \alpha_1^2 \theta^2 x_a &+ \dotsb +& \alpha_1^{m -1} \theta^{m -1} x_a &=& \sqrt[m]{v_1}\,, \\
x_a &+& \alpha_2 \theta x_a &+& \alpha_2^2 \theta^2 x_a &+ \dotsb +& \alpha_2^{m -1} \theta^{m -1} x_a &=& \sqrt[m]{v_2}\,, \\
\hdotsfor{9} \\
x_a &+& \alpha_{m-1} \theta x_a &+& \alpha_{m-1}^2 \theta^2 x_a &+ \dotsb +& \alpha_{m-1}^{m -1} \theta^{m -1} x_a& =& \sqrt[m]{v_{m-1}}\,,
\end{array}
\]
dont les seconds membres sont connus.
\PG-----------------------File: 042.png----------------------------

De ces équations linéaires par rapport aux $m$ racines à trouver, on
peut déduire facilement chacune d'elles. Car, pour avoir $\theta^i x_a$ par
exemple, il suffit de multiplier les deux membres de chacune de ces
équations respectivement par $1, \alpha_1^{-i}, \alpha_2^{-i}, \dotsc, \alpha_{m-1}^{-i}$ et d'ajouter les
produits: cette somme en effet donne, en ayant égard aux propriétés
des racines des équations binômes, la formule
\[
\theta^i x_a = \frac{1}{m}\left\{-A_1
 + \alpha_1^{-i}\sqrt[m]{v_1}
 + \alpha_2^{-i}\sqrt[m]{v_2} +\dotsb
 + \alpha_{m-1}^{-i}\sqrt[m]{v_{m-1}}\right\}
\]
de laquelle on déduira les $m$ racines de la proposée en faisant successivement
$i = 0, 1, 2, 3, \dotsc, m-1$.

Mais comme un radical d'indice $m$ a $m$ valeurs, on pourrait croire
que l'expression précédente a $m^{m-1}$ valeurs. Or, il est facile d'exprimer
chacun des radicaux qu'elle renferme en fonction d'un seul, auquel
cas elle n'aura que $m$ valeurs.

Soit en effet $\rho$ une des racines \emph{primitives} de l'équation $x^{m}-1 = 0$,
et faisons dans le calcul précédent:
\[
\alpha_1 = \rho, \quad \alpha_2 = \rho^2, \quad
\alpha_3 = \rho^3,\quad \dotsc, \quad \alpha_n = \rho^n,\quad \dotsc, \quad \alpha_{m-1} = \rho^{m-1}\,,
\]
ce qui est permis, puisque $\rho, \rho^2, \rho^3, \dotsc, \rho^{m-1}$ sont les $m$ racines de
l'équation $x^m-1 = 0$. On aura
\[
\def\arraycolsep{2pt}
\begin{array}{rclclclcl}
\sqrt[m]{v_1} &=& x_a&+& \rho\theta x_a& +&\rho^2\theta^2 x_a
&+ \dotsb +& \rho^{m-1}\theta^{m-1} x_a\,,\\
\sqrt[m]{v_n} &=& x_a &+& \rho^n\theta x_a &+& \rho^{2n}\theta^2 x_a
&+ \dotsb +& \rho^{(m-1)n}\theta^{m-1}x_a\,.
\end{array}
\]

Mais si dans la valeur de $\sqrt[m]{v_1}$ on change $x_a$ en $\theta^k \alpha_a$, cette valeur
est multipliée par $\rho^{m-k}$; et ce même changement multiplie le second
membre de la seconde égalité par $\rho^{n(m-k)}$; donc ce changement multiplie
le produit $\left(\sqrt[m]{v_1}\right)^{m-n}\dotm\sqrt[m]{v_n}$ par
$\rho^{n(m-k)} \dotm \rho^{(m-n)(m-k)} = \rho^{(m-k)m} = 1$.

Ce produit étant donc inaltérable en changeant $x_a$ en $\theta^k x_a$, quelle
que soit la valeur de $k$, on aura, en posant
%
\begin{gather*}
\left(\sqrt[m]{v_1}\right)^{m-n}\sqrt[m]{v_n}=\chi(x_a)\,,\\
\chi(x_a) = \chi(\theta x_a) = \chi(\theta^2 x_a) = \dotsb
 = \chi(\theta^{m-1}x_a)
\end{gather*}
%
et par conséquent
\[
\chi(x_a) = \frac{1}{m}\left\{\chi(x_a) + \chi(\theta x_a)
 + \chi(\theta^2 x_a) + \dotsb + \chi(\theta^{m-1}x_a)\right\}\,,
\]
\PG-----------------------File: 043.png----------------------------
relation dont le second membre est une fonction symétrique des racines
de l'équation proposée $f(x) = 0$. Donc $\chi(x_a)$ peut être exprimé en
fonction rationnelle des coefficients de $f(x)$ et de ceux de la fonction
connue $\theta$. Soit $u_n$ sa valeur, on aura donc
\[
\left(\sqrt[m]{v_1}\right)^{m-n} \sqrt[m]{v_n} = u_n \, ,
\]
d'où on déduit
\[
\sqrt[m]{v_n} = \frac{u_n}{v_1} \left(\sqrt[m]{v_1}\right)^n \, ,
\]
et, par suite, cette expression équivalente de $\theta^i x_a$
%
\begin{align*}
\theta^i x_a &= \frac{1}{m}\left\{ -A_1 + \rho^{-i} \sqrt[m]{v_1}
 + \frac{u_2}{v_1} \left(\rho^{-i} \sqrt[m]{v_1}\right)^2 + \dotsb
 + \frac{u_{m-1}}{v_1} \left(\rho^{-i} \sqrt[m]{v_1}\right)^{m-1} \right \} \, ;\\
%
\intertext{mais si dans cette formule on fait $i = 0$, auquel cas elle devient}
%
\frac{x}{a} &= \frac{1}{m}\left\{ -A_1 + \sqrt[m]{v_1}
 + \frac{u_2}{v_1} \left(\sqrt[m]{v_1}\right)^2 + \dotsb
 + \frac{u_{m-1}}{v_1} \left(\sqrt[m]{v_1}\right)^{m-1} \right \} \, ,
\end{align*}
%
et, si on donne successivement au seul radical qu'elle contient ses
$m$ valeurs, on aura exactement les mêmes valeurs que celles qui
seraient produites par la formule précédente en y faisant successivement
 $i = 0, 1, 2, \dotsc, m-1$; c'est-à-dire les $m$ racines de l'équation proposée.

\begin{REMARQUE} Ce théorème a été trouvé par Abel en généralisant les travaux
 de Gauss sur les équations binômes. Les équations algébriques dont les racines
 jouissent des propriétés énoncées par ce théorème sont dites \emph{abéliennes}.
 Notre théorie fait donc retrouver, d'une manière simple, cette classe d'équations résolubles algébriquement.
\end{REMARQUE}

\begin{Thm}[XI] Si le degré $m$ d'une équation abélienne est
\[
m = n_1^{k_1} \dotm n_2^{k_2} \dotsm n_\omega^{k_\omega}\,,
\]
$n_1, n_2, \dotsc, n_\omega$ étant des nombres premiers, la résolution
 de cette équation se ramène à celle de $k_1$ équations de degré $n_1$, de $k_2$ équations
\PG-----------------------File: 044.png----------------------------
 de degré $n_2, \ldots$, et de $k_{\omega}$ équations de degré $n_{\omega}$; ces équations
étant toutes abéliennes comme la proposée.
\end{Thm}

Le théorème précédent est vrai, quelle que soit la valeur du degré $m$;
mais lorsque ce degré est composé, on peut simplifier la solution. En
effet, l'équation proposée étant abélienne, ses racines sont
\[
 x, \quad \theta x, \quad \theta^2 x,\quad \dotsc, \quad \theta^{m-1} x\,,
\]
$x$ désignant l'une d'elles, et $\theta$ une fonction rationnelle telle que
$ \theta^m x = x $. Or, si nous posons
\[
  m = m_1 n
\]
$n$ étant premier, on peut partager ces $m$ racines en $n$ groupes
\[
\tag{B} \left\{
\begin{array}{lllll}
 x,             & \theta^nx,       & \theta^{2n}x,     & \dotsc ,&
    \theta^{\overline{m_1-1}n}x\,,   \\
 \theta x,      & \theta^{1+n}x,   & \theta^{1+2n}x,   & \dotsc ,&
    \theta^{1+\overline{m_1-1}n}x\,,   \\
 \hdotsfor{5}   \\
 \theta^{n-1}x, & \theta^{n-1+n}x, & \theta^{n-1+2n}x, & \dotsc ,&
    \theta^{n-1+\overline{m_1-1}n}x\,,
\end{array} \right.
\]
composés chacun de $m_1$ racines telles que l'équation dont les racines
seraient celles de l'un quelconque d'entre eux serait également
abélienne, puisque $\theta^m x =\penalty500 \theta^{m_1 n} x = x$.

Ces $n$ groupes sont de plus \emph{inséparables}\footnote{Voir le 8\ieme{}
 théorème de notre Mémoire déjà cité; t.~VI du journal de M.~Liouville,
2\ieme{} série, p.~435.}; donc si nous prenons
une fonction quelconque, $F(x)$, symétrique des racines du premier
groupe, la somme par exemple; auquel cas les sommes des racines
des groupes suivants sont $F(\theta x), F(\theta^2 x), \dotsc, F(\theta^{n-1} x)$; toute
fonction symétrique des $n$ quantités
\[
  F(x), F(\theta x), \dotsc, F(\theta^{n-1} x)\,,
\]
sera symétrique par rapport aux $m$ racines de la proposée, et par
conséquent elle pourra être exprimée en fonction rationnelle de ses
coefficients. Il est donc possible de former l'équation
\[
\tag{14}    X^n + C_1X^{n-1} + C_2X^{n-2} + \dotsb + C_n = 0
\]
dont les racines sont ces $n$ quantités. Et cette équation est encore
abélienne: car $F(x)$ et $F(\theta x)$ sont évidemment des fonctions semblables;
\PG-----------------------File: 045.png----------------------------
 on aura donc $F(\theta x) = \phi \dotm(Fx)$, $\phi$
désignant une fonction rationnelle, et par suite $F(\theta^2 x)=\penalty500
\phi \dotm (F\theta x) =\penalty500\phi^2 \dotm(Fx), \ldots$ et
$F(\theta^n x) = F(x)$.

Or (\hyperlink{TheoremII}{théorème~II}), l'équation proposée, est décomposable, à l'aide
des racines de cette équation auxiliaire~\tagref{14} en $n$ équations d'un même
degré $m_1$ dont les racines sont respectivement celles de chacun des
$n$ groupes du tableau~\tagref{B}; et ces équations sont évidemment toutes
abéliennes; on peut donc les résoudre.

Mais si le nombre $m_1$ est lui-même composé et égal à $m_2 p$, $p$ étant
premier, on peut faire la même décomposition sur chacune de ces
$n$ équations de degré $m_1$. Car l'une quelconque d'entre elles, la première
par exemple, étant abélienne, on peut faire sur elle ce qu'on a
fait sur l'équation proposée; et par conséquent cette équation peut
être décomposée en $p$ équations abéliennes d'un même degré $m_2$, à
l'aide d'une nouvelle équation abélienne, de degré $p$, et analogue à~\tagref{14},
qu'il est possible de former avec les coefficients de l'équation de
degré $m_1$, et par suite aussi avec les coefficients de l'équation
proposée.

Si $m_2$ était lui-même un nombre composé, on pourrait, sur l'une
des $p$ équations de degré $m_2$, opérer la même décomposition; et ainsi
de suite. En sorte que la résolution de l'équation abélienne proposée
de degré $m$ dépend de celles d'équations abéliennes analogues à~\tagref{14}
dont les degrés sont les facteurs premiers de $m$. Ce qui démontre le
théorème énoncé.

Avant de déterminer les conditions nécessaires et suffisantes pour
qu'une équation irréductible soit résoluble algébriquement, nous
démontrerons encore le théorème suivant, parce qu'il nous sera utile
dans cette recherche.

\begin{Thm}[XII]
Si deux racines d'une équation algébrique
irréductible et de degré composé $m$, sont tellement liées entre elles
que l'une puisse s'exprimer rationnellement par l'autre, cette
équation est ou abélienne ou composée d'équations abéliennes de
degrés moindres; et réciproquement.
\end{Thm}

En effet, si $x$ désigne une des racines de l'équation proposée
\[
F (x) = 0 \, ,
\]
$\theta(x)$ sera une autre racine de cette équation, $\theta$
désignant une fonction
\PG-----------------------File: 046.png----------------------------
rationnelle de $x$ et de quantités connues. On aura donc
\[
F (\theta x) = 0 \, ;
\]
et je dis que cette dernière équation est encore satisfaite quand on y
remplace $x$ par une racine quelconque de la proposée. Car, si on
effectue les calculs indiqués par les signes $\theta$ et $F$, on obtiendra
\[
F(\theta x) = \frac{\phi(x)}{\psi(x)}\,,
\]
$\phi(x)$ et $\psi(x)$ désignant des fonctions entières par rapport à $x$ que l'on
peut toujours supposer premières entre elles. Mais l'équation $F(\theta x)=0$
entraîne l'équation $\phi(x)= 0$; et comme on a $F(x) = 0$, les fonctions
entières $\phi(x)$ et $F(x)$ doivent avoir un plus grand commun diviseur
algébrique: et puisque $F(x) = 0$ est une équation irréductible, on
doit avoir $\phi(x) = F (x) \dotm \phi_1(x)$, et par suite
\[  \tag{15}
F(\theta x) = \frac{\phi_1(x)}{\psi(x)} F(x) \,.
\]

Et j'ajoute qu'on ne saurait avoir en même temps $\psi(x) = 0$ et
$F(x) = 0$, car on aurait alors $\psi(x)= F (x)\dotm \psi_1(x)$, et par conséquent
les fonctions $\phi(x)$ et $\psi(x)$ ne seraient pas des fonctions premières
entre elles.

Cette équation~\tagref{15} prouve que toute racine de l'équation proposée
$F(x)=0$ est racine de $F(\theta x)=0$: mais $\theta(x)$ étant racine de $F(x)=0$,
$\theta \theta x$ ou $\theta^2 x$ est racine de la même équation: de même $\theta^2(x)$ étant
racine de la proposée, $\theta \theta^2$ ou $\theta^3 x$ est encore racine de la même équation;
et ainsi de suite à l'infini. Donc chacun des termes de la suite,
prolongée indéfiniment,
\[
x, \quad \theta x, \quad \theta^2 x, \quad \theta^3x, \quad \dotsc,
 \quad \theta^{n-1} x, \quad \theta^n x, \dotsc
\]
est racine de l'équation proposée: et comme cette équation est de
degré fini $m$, cette suite ne doit contenir au plus que $m$ termes
distincts.

Soit
\[
\theta^{n+p}x = \theta^p x \, ;
\]
l'équation $\theta^n x - x = 0$ a donc pour racine $\theta^p x$ qui est aussi une
racine de $F(x) = 0$; d'où il suit que, d'après ce qui précède, toute
\PG-----------------------File: 047.png----------------------------
racine de $F(x) = 0$ est aussi racine de $\theta^n x - x =0$, et que
par conséquent on a $\theta^{n+1}x = \theta x$, $\theta^{n+2}x= \theta^2 x$, et ainsi de suite. Ainsi
les seuls termes distincts de la suite indéfinie précédente sont
\[  \tag{16}
x, \quad \theta x, \quad \theta^2 x, \quad \dotsc, \quad \theta^{n-1}x\,;
\]
et si $m = n$, cette suite démontre le théorème.

Supposons actuellement $m >n$, et soit $x_1$ une des racines de
l'équation $F (x) = 0$, non comprise dans la suite~\tagref{16}. On démontrera,
de la même manière, que chaque terme de la suite prolongée
indéfiniment
\[
x_1, \quad \theta x_1, \quad \theta^2 x_1, \quad \dotsc,
\]
est racine de l'équation proposée, et que les seuls termes distincts de
cette suite sont les $n$ termes
\[
x_1, \quad \theta x_1, \quad \theta^2 x_1, \quad \dotsc, \quad \theta^{n-1} x_1 \,.
\]

Je dis de plus que ces termes sont différents de ceux de la suite~\tagref{16}.
Car si on pouvait avoir $\theta^h x_1 = \theta^k x$, on aurait
$\theta^{n-k} \theta^h x_1 = \theta^{n-k} \theta^k x = \theta^n x = x$;
d'où il suit que dans cette dernière suite continuée
indéfiniment, la racine $x$ se trouverait, et que par conséquent
elle contiendrait tous les termes de la suite~\tagref{16}; c'est-à-dire, en d'autres
termes, que ces deux suites coïncideraient: ce qui est contre l'hypothèse,
puisque $x_1$ diffère de chacun des termes de~\tagref{16}.

Ainsi, ces deux suites contiennent $2n$ racines distinctes de
l'équation proposée; donc si $m = 2n$, cette équation est
formée de deux équations, d'un même degré $n$, donnant l'une
les racines de la suite~\tagref{16}, et l'autre celles de la dernière
suite, chacune d'elles étant évidemment abéliennes.

Si $m > 2n$, et si $x_2$ désigne une racine de $F(x) = 0$ % [** Corrected f to F silently]
qui ne fasse partie ni de la suite~\tagref{16} ni de la suivante composée d'un même
nombre $n$ de termes, on démontrera de la même manière qu'avec $x_2$
on formera un troisième groupe $n$ de racines différentes
\[
x_2, \quad \theta x_2, \quad \theta^2 x_2, \quad \dotsc, \quad \theta^{n-1}x_2\,,
\]
et distinctes de celles des deux premiers groupes; et ainsi de suite.
En sorte que les $m$ racines de l'équation proposée peuvent être partagées
\PG-----------------------File: 048.png----------------------------
 en groupes composés, chacun, de $n$ racines
\[
  \tag[B2]{B\protect\footnotemarkT}
 \left\{ \begin{array}{lllll}
x  ,& \theta x   ,& \theta^2 x   ,& \dotsc ,& \theta^{n-1} x  \,,\\
x_1,& \theta x_1 ,& \theta^2 x_1 ,& \dotsc ,& \theta^{n-1} x_1 \,, \\
x_2,& \theta x_2 ,& \theta^2 x_2 ,& \dotsc ,& \theta^{n-1} x_2  \,,\\
\hdotsfor{5}\\
\end{array} \right.
\footnotetextT{The duplication of the tag (B) appears to be intentional:
 \textit{cf} page~\pageref{eqn:B}}%
\]%
% Note: although this is the second use of tag (B), it seems to be
% intentional, rather than a clear error as with (18) and (18a)
ces groupes étant tels que, dans chacun, chaque racine est égale à la
\emph{même} fonction rationnelle $\theta$ de la précédente.

\begin{COROLLAIRE} Si le degré $m$ de l'équation proposée $F(x) = 0$\DPpdfbookmark[2]{Corollaire}{CorollaireXII}
est un nombre premier, les groupes du tableau~\tagref[B2]{B} se réduisent en
un seul. Car dans la suite~\tagref{16}, on a $\theta^n(x) = x$, et si $n < m$ il y
aurait au moins $2 n$ racines distinctes dans cette équation, ce qui est
impossible, puisque $m$ est premier. Donc $m = n$ et par conséquent
tous ces groupes~\tagref[B2]{B} se réduisent au premier.
\end{COROLLAIRE}

\begin{REMARQUE} Une équation dont les $m$ racines peuvent être
représentées par la suite
\[
  x, \quad \theta x, \quad \theta^2 x, \quad \dotsc, \quad \theta^{2n-1} x \,,
\]
telle que $\theta^m(x) = x$, est dite \emph{abélienne}.
\end{REMARQUE}

De cette définition et du corollaire précédent résulte
donc ce théorème: \emph{Si deux racines d'une équation
algébrique, irréductible et de degré premier sont
tellement liées que l'une d'elles soit égale à une
fonction rationnelle de l'autre, cette équation est abélienne}.

\begin{Thm}[XIII] Pour qu'une équation algébrique, non
abélienne, irréductible et de degré premier $n$
supérieur à trois soit résoluble algébriquement, il
faut et il suffit qu'entre trois quelconques de ses racines il y ait
la relation
\[  \tag{17}
  x_{a+p\rho} = \theta(x_{a+p} , \quad x_a) \, ,
\]
dans laquelle les indices de $x$ soient pris suivant le module $n$,
$\theta$ désigne une fonction rationnelle, $\rho$ une des racines primitives du
degré $n$, $a$ % [** Corrected \alpha to a silently]
un des nombres $0, 1, 2, 3, \dotsc, n-1$, et $p$ un des nombres
entiers $1, 2, 3, \dotsc, n-1$.
\end{Thm}

Cette relation montre comment, deux racines $x_a$ et $x_{a+p}$ étant données,
\PG-----------------------File: 049.png----------------------------
on peut exprimer de proche en proche les $n-2$ autres racines en
fonction de ces deux-là; et comment ces racines naissent les unes des
autres. Car cette relation étant vraie quand on remplace
successivement $p$ par $1, 2, 3, \dotsc, n-1$, dans tel ordre qu'on
voudra, et les résidus à $n$ de la suite $p\rho, p\rho^2, \dotsc,
p \rho^{n-1}$ étant ces mêmes nombres dans un ordre déterminé, on
peut remplacer dans cette formule~\tagref{17} $p$ successivement par $p\rho,
p\rho^2, \dotsc, p\rho^{n-2}$: et nous aurons les $n-1$ autres
racines de l'équation à résoudre
%
\begin{alignat*}{2}
x_{a+p\rho^2} & = \theta (x_{a+p\rho}, && x_a)\,,  \\
x_{a+p\rho^3} & = \theta (x_{a+p\rho^2}, && x_a)\,, \\
\multispan4\dotfill \\
x_{a+p\rho^{n-2}} & = \theta (x_{a+p\rho^{n-3}}, &~& x_a)\,,
\end{alignat*}

Cela posé: si l'équation proposée est abélienne, elle est
résoluble algébriquement, \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}; mais par hypothèse,
cette équation n'étant pas abélienne, étant irréductible et
de degré premier $n$, sa résolution dépend essentiellement,
\hyperlink{TheoremVII}{théorème~VII}, de celle de deux équations, l'une de degré
$n-1$, l'autre de degré $1\dotm 2\dotm 3 \dotsm (n-2)$.\footnoteT
{Original has $1,2,3,\dotsc,(n-2)$} % [** compare Thm VII: this should be a product, not a list]

Mais, $n$ étant premier et supérieur à trois, cette dernière
équation, qui est l'équation résolvante dont l'expression
générale $y$ de ses racines est donnée par la formule~\tagref{9}, est
indécomposable en équations de degrés moindres, son degré
étant supérieur à~$4$, comme nous l'avons démontré au
\hyperlink{TheoremIX}{théorème~IX}. Donc, l'équation proposée devant être soluble
par radicaux, cette équation résolvante doit avoir toutes ses
racines égales; puisque toute autre hypothèse la rendrait
décomposable en équations de degrés moindres.

Or, cette fonction rationnelle~\tagref{9} des racines $x_a, x_{a+p},
\dotsc, x_{a+\overline{n-1}p}$ de l'équation proposée jouit de cette propriété,
 \emph{telle qu'elle est faite}, d'être invariable
pour les $n(n-1)$ permutations qui constituent un seul et même ordre
de ces $n$ racines vu successivement de chacune d'elles; et comme elle
doit être encore invariable pour les $1 \dotm 2 \dotm 3 \dotm \dotsm (n-2)$ groupes
de la troisième classification déjà citée de notre mémoire,
cette fonction~\tagref{9} doit être symétrique par rapport aux $n$
racines de la proposée. Mais $n(n-1)$ est précisément égal au
nombre d'arrangements de $n$ lettres prises deux à deux; donc cette
expression~\tagref{9} doit se réduire, d'une manière rationnelle, à ne
contenir que deux de ces racines. Cette réduction exige donc que, deux racines
\PG-----------------------File: 050.png----------------------------
quelconques de l'équation proposée étant données, $x_a$ et $x_{a+p}$ par
exemple, on puisse exprimer par des fonctions rationnelles les $n-2$
autres. Par suite la fonction $z_1$, qui contient ces $n$ racines, se réduira
à une fonction rationnelle de $x_a$ et $x_{a+p}$, par exemple à
\[
z_1 = \psi(x_{a+p}, \quad x_a),
\]
$\psi$ désignant une fonction rationnelle.

Mais $z_2, z_3, \dotsc, z_{n-1}$ se déduisent de $z_1$ en changeant successivement
$p$ en $p\rho, p\rho^2, \dotsc, p\rho^{n-2}$, et ces changements n'altèrent pas $y$, on doit
donc avoir
%
\begin{alignat*}{2}
z_2 &=\psi(x_{a+p\rho}, && x_a)\,,\displaybreak[0]\\
z_3 &=\psi(x_{a+p\rho^2}, && x_a)\,,\\
\multispan4\dotfill \\
z_{n-1}&=\psi(x_{a+p\rho^{n-2}}, &~& x_a)\,;
\end{alignat*}
%
équations qui exigent que l'on ait l'équation~\tagref{17}, puisque la valeur
de $z_1$ aurait pu être écrite de la manière suivante:
\[
z_1 = (x_a + \alpha x_{a+p} + \alpha^2 x_{a+p\rho} + \dotsb + \alpha^{n-1} x_{a+p\rho^{n-2}})^n\,.
\]

Cette équation~\tagref{17} étant nécessaire, démontrons maintenant qu'elle
est suffisante. Considérons à cet effet la fonction de Lagrange:
\[
u = \left\{\psi(x_{a+p}, x_a) + \lambda\psi(x_{a+p\rho}, x_a)+ \dotsb % [** inserted + before dots]
 + \lambda^{n-2}\psi(x_{a+p\rho^{n-2}}, x_a)\right\}^{n-1}\,,
\]
dans laquelle $\lambda$ désigne une des racines de l'équation binôme $x^{n-1}=1$.
En y changeant successivement $p$ en $p\rho, p\rho^2, \dotsc, p\rho^{n-2}$, ses divers
termes ne font que se déplacer circulairement; elle est donc invariable
quelle que soit la valeur de $p$: d'ailleurs ses divers termes sont aussi
invariables quelle que soit la valeur de $a$, donc cette fonction conserve
la même valeur quelles que soient les $n$ valeurs de $a$ et les $n-1$ valeurs
de $p$. De là il suit que si on réduit la fonction $u$ à ne contenir que les
deux racines $x_a$, $x_{a+p}$ à l'aide de la formule~\tagref{17},
\[
u = \chi(x_{a+p},~ x_a)\,,
\]
cette fonction, ainsi réduite, conservera la même valeur quels que
soient les indices $a$ et $p$, et on aura
\[
n(n-1)u = \sum_{0}^{n-1}\sum_{1}^{n-1}\chi(x_{a+p},~  x_a)\,;
\]
\PG-----------------------File: 051.png----------------------------
relation dont le second membre est une fonction symétrique des
racines de l'équation proposée $f(x) = 0$. On peut donc exprimer $u$
en fonction rationnelle des coefficients de $f(x)$ et de la fonction
connue $\theta$; et par suite, en remplaçant successivement $\lambda$ par les
$n-1$ racines $1, \lambda, \lambda_2, \dotsc, \lambda_{n-2}$ de l'équation $x^{n-1} = 1$, on aura
les $n-1$ équations{\ifPaper\smaller\fi
\[
\tag{18}
\left\{\begin{alignedat}{3}
\psi(x_{a+p},x_a)\:&+ &        \psi (x_{a+p\rho},x_a)&+\dotsb+
 & \psi(x_{a+p\rho^{n-2}},x_a)&=\sqrt[n-1]{u_1}\,,   \\
%
\psi(x_{a+p},x_a)\:&+ &\lambda_1\psi(x_{a+p\rho},x_a)&+\dotsb+
 &\: \lambda_1^{n-2}\psi(x_{a+p\rho^{n-2}},x_a)&=\sqrt[n-1]{u_2}\,,   \\
%
\multispan6\dotfill   \\
%
\psi(x_{a+p},x_a)\:&+ &\:\lambda_{n-2} \psi(x_{a+p\rho},x_a)&+\dotsb+
 &\: \lambda_{n-2}^{n-2}\psi(x_{a+p\rho^{n-2}},x_a)&=\sqrt[n-1]{u_{n-1}}\,;
\end{alignedat}\right.
\]
}$u_1, u_2, \dotsc, u_{n-1}$ désignant des fonctions rationnelles et connues des
coefficients de $f(x)$ et de $\theta$: de ces $n-1$ équations nous déduirons
les $n-1$ termes dont se compose la fonction~$u$.

Or, ces $n-1$ termes étant connus, on aura, en ayant égard à leurs
expressions en fonction des racines de la proposée, $n-1$ équations
qui, réunies à l'équation suivante,
\[
  x_a + x_{a+p} + x_{a+2p} + \dotsb + x_{ a+\overline{n-1}p } = -A_1\,,
\]
feront connaître les $n$ racines cherchées; puisque ces $n$ équations
simultanées ne sont autres que les équations~\tagref{18}.

Ainsi, cette relation~\tagref{17} est suffisante; de là la démonstration du
théorème énoncé.

\begin{REMARQUE} Il est utile d'observer que les $n-1$ valeurs $z_1, z_2,
 \dotsc, z_{n-1}$ sont les racines d'une équation abélienne résoluble par
l'extraction d'un seul radical d'indice $n-1$. Donc les racines de
toute équation, de degré premier $n$, et soluble par radicaux, ne
contiennent que le radical d'indice $n$ et ceux dont les radicaux sont
les facteurs premiers de $n-1$.
\end{REMARQUE}

\begin{COROLLAIRE}[I] Si on divise le premier membre $f(x)$ de toute
équation irréductible, de degré premier, non abélienne et soluble par
radicaux, par un de ses facteurs linéaires, le quotient égalé à zéro est
une équation abélienne.
\end{COROLLAIRE}
\PG-----------------------File: 052.png----------------------------

Car l'équation $f(x) = 0$ étant soluble par radicaux, irréductible,
de degré premier $n$, est abélienne, la relation~\tagref{17} est satisfaite; et le
quotient de $f(x)$ par $x-x_a$ égalé à zéro a pour racines $x_{a+p}, x_{a+p\rho}, \dotsc,
 x_{a+p\rho^{n-2}}$: et on déduit de cette relation les équations
%
\begin{align*}
x_{a+p\rho} &= \theta(x_{a+p}, x_a) = \theta x_{a+p}\,,\\
x_{a+p\rho^2} &= \theta x_{a+p\rho} = \theta^2x_{a+p}\,,\\
\multispan2\dotfill\\
x_{a+p\rho^{n-2}} &= \theta x_{a+p\rho^{n-3}}= \theta^{n-2}x_{a+p}\,,\\
x_{a+p\rho^{n-1}} &= x_{a+p} = \theta x_{a+p\rho^{n-2}}
 = \theta^{n-1}x_{a+p}\,,
\end{align*}
%
qui prouvent qu'effectivement ce quotient, égalé à zéro, est une
équation abélienne.

Ce théorème, qui se présente ici comme corollaire, est dû à
M.~Hermite.


\begin{COROLLAIRE}[II] Il résulte du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X} et de celui que nous
venons de démontrer, ce résultat: \emph{les seules équations algébriques,
irréductibles et de degré premier supérieur à trois qui soient
solubles par radicaux, sont celles qui sont abéliennes ou celles
dont les racines satisfont à l'équation}~\tagref{17}.
\end{COROLLAIRE}

Et il est utile de rappeler le résultat du \hyperlink{CorollaireXII}{corollaire} du théorème~XII:
pour qu'une équation irréductible et de degré premier soit abélienne,
il faut et il suffit que deux quelconques de ses racines soient tellement
liées entre elles que l'une puisse être exprimée rationnellement par
l'autre.

\begin{Thm}[XIV] Pour qu'une équation algébrique, irréductible
et dont le degré composé ne contient aucun des facteurs
premiers deux et trois soit résoluble algébriquement, il faut et il
suffit: \primo ou que deux quelconques de ces racines soient tellement
liées entre elles que l'une puisse s'exprimer rationnellement par
l'autre; et que si $\theta x$ et $\theta_1x$ désignent deux de ces racines distinctes
exprimées l'une et l'autre en fonction rationnelle d'une troisième $x$,
on ait $\theta\theta_1 x=\theta_1\theta x$; \secundo ou que le degré de l'équation soit de la
forme $n^v$, $n$ étant premier, et que trois de ses racines quelconques
soient liées par la relation
\[  \tag[18a]{18a\protect\footnotemarkT}
x_{a+\alpha p\rho,\; b+ \beta q\rho,\;\ldots,\; l + \lambda t\rho}
=\theta( x_{a+ \alpha p,\; b+ \beta q,\;\ldots,\; l + \lambda t},
 \qquad x_{a, b, \ldots, l} )\,,
\footnotetextT{Duplicate tag (18)---see page~\pageref{eqn:18}}%
\]%
% note: all references to (18) from here on clearly refer to this,
% not the earlier (18), so have been silently amended to read (18a)
\PG-----------------------File: 053.png----------------------------
dans laquelle les indices de $x$ sont pris suivant le module $n$; $\theta$ désignant
une fonction rationnelle; $\rho$ une des racines primitives de $n$;
$a, b, \dotsc, l$, $v$ indices indépendants et prenant chacun les $n$ valeurs
$0,1, 2, \dotsc, n-1$; $p, q, \dotsc, t$, $v$ nouveaux indices indépendants
et prenant chacun les $n-1$ valeurs $1, 2, 3, \dotsc, n-1$; et enfin
$\alpha, \beta, \dotsc, \lambda$ les nombres $0$ ou~$1$.
\end{Thm}

Si l'équation proposée $f(x)=0$ est abélienne, elle est résoluble
algébriquement, \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}. Si elle ne l'est pas, nous distinguerons
plusieurs cas pour la recherche des conditions nécessaires et suffisantes
de sa résolution: celui où son degré $n$ est égal au produit de deux
facteurs premiers, celui où ce degré est égal au produit de trois facteurs
premiers, et ainsi de suite; chacun de ces facteurs premiers étant
supérieur à trois.

\subsection[Premier cas général: m = n n\string\1371.]{Premier cas général: $m = n n_1$.}

L'équation proposée $f(x) = 0$ étant irréductible, sa résolution
dépend nécessairement, \hyperlink{TheoremVIII}{théorème~VIII}, de la résolution de $n$ équations,
d'un même degré $n_1$ dont les $n n_1$ racines sont celles de la proposée,
équations qu'on peut former avec les coefficients de l'équation donnée
et avec les racines de deux autres équations, l'une de degré $n-1$,
l'autre d'un degré déterminé $s$. Cette dernière peut être formée directement
avec les seuls coefficients de $f(x) = 0$, et celle de degré $n-1$
avec ces mêmes coefficients et avec l'une des racines de cette équation
de degré $s$. Mais $n_1$ est un nombre premier supérieur à trois, donc la
résolution d'une quelconque des $n$ équations de ce degré $n_1$ exige,
\hyperlink{TheoremVII}{théorème~VII}, ou que cette équation soit abélienne, ou que les $n_1$
racines soient liées par une relation analogue à l'équation~\tagref{17}; de là
deux hypothèses:

\begin{Premiere}[hypothèse] Si l'une quelconque de ces équations de
degré $n_1$ est abélienne, une quelconque de ses racines est une fonction
rationnelle d'une autre de ces mêmes racines; mais toutes ces racines
appartiennent à l'équation proposée $F(x) = 0$, donc, \hyperlink{TheoremVI}{théorème~VI},
les $n n_1$ racines de cette dernière se partagent en $n$ groupes composés
chacun de $n_1$ racines, comme on le fait au tableau~\tagref[B2]{B} dans lequel $n$
doit être remplacé par $n_1$; et par conséquent $\theta^{n_1} x = x$. Or, il résulte
de ce même théorème, que les $n$ groupes de ce tableau doivent se
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réduire à un seul ou qu'ils doivent être distincts. Dans le premier
cas $n_1$ doit être remplacé par $m$ dans cette dernière équation. Dans le
second cas, l'équation proposée $F(x) = 0$ est \emph{abélienne}, le même
\hyperlink{TheoremVI}{théorème~VI} prouve que $x_1 = \theta_1 x$, $\theta_1(x)$ désignant une fonction de
$x$ telle que $\theta_1^n(x) =x$ puisque $n$ est premier; elle doit être différente
de $\theta$ puisque cette équation n'a pas de racines égales; et qu'enfin $x_2 = % aspell suggests qu'en fin but scan clearly has no space
\theta_1^2(x)$, $x_3 = \theta_1^3(x) $, $x_4 = \theta_1^4(x) $,
\dots, $x_{n-1} = \theta_1^{n-1}(x) $. Avec ces résultats,
le tableau~\tagref[B2]{B} devient
\[  \tag{C}
\left\{ \begin{array}{lllll}
x  ,& \theta x   ,& \theta^2 x   ,& \ldots ,& \theta^{n_1-1} x\,,  \\
\theta_1 x  ,& \theta \theta_1 x   ,& \theta^2 \theta_1 x   ,& \ldots ,&
\theta^{n_1-1} \theta_1 x\,,  \\
\theta_1^2 x  ,& \theta \theta_1^2 x   ,& \theta^2 \theta_1^2 x   ,& \ldots ,&
\theta^{n_1-1} \theta_1^2 x\,,  \\
\hdotsfor{5} \\
\theta_1^{n-1} x  ,& \theta \theta_1^{n-1} x   ,& \theta^2
\theta_1^{n-1}x   ,& \ldots ,& \theta^{n_1-1} \theta_1^{n-1} x\,.
\end{array} \right.
\]
\end{Premiere}

Or, chaque racine de l'équation résolvante $\phi(y) = 0$ décompose,
à l'aide d'une équation auxiliaire de degré $n-1$, \hyperlink{TheoremVIII}{théorème~VIII},
l'équation proposée en $n$ équations abéliennes d'un même degré $n_1$.
Il y a donc autant de valeurs de $y$ qu'il y a de manières de
décomposer cette équation en $n$ équations abéliennes. Mais avec les
fonctions $\theta$ et $\theta_1$ il n'y a évidemment qu'une seule
manière d'opérer cette décomposition, chacun des nombres $n$ et $n_1$
étant premier; donc l'équation résolvante $\phi(y) = 0$ est du
premier degré; et, par suite, la fonction $y$ \tagref{13} qui peut être
exprimée, tableau~\tagref{C}, rationnellement en $x$ avec les fonctions
$\theta$ et $\theta_1$, doit être une fonction symétrique, \hyperlink{TheoremII}{théorème~II},
des racines de l'équation proposée. De plus, les divers termes de $y$,
exprimés en $x$, se réduisent évidemment à un seul $Z_1$,
en sorte que l'on aura
\[
  y = Z_1 = \psi(x)\,,
\]
$\psi(x)$ étant une fonction symétrique des racines de $f(x) = 0$. Ainsi,
cette fonction doit conserver une même valeur quand on y remplace $x$
par une quelconque des racines de cette équation.

Or, d'après l'expression de $Z_1$, et la signification des $n$
quantités $X_a, X_{a+p}, \dotsc,\allowbreak X_{a+\overline{n-1}p}$ qui désignent
respectivement la somme des racines contenues dans chacun des $n$
groupes du tableau~\tagref{C}, cette expression $Z_1$ ou $\psi(x)$ n'est invariable
qu'en échangeant toutes les racines contenues dans chacune de ces
quantités, les unes dans les
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autres, et que par les permutations circulaires de ces mêmes
quantités, en nombre $n$. Mais toutes les racines du tableau~\tagref{C}
dépendent d'une seule $x$, il faut donc qu'en échangeant $x$ en une
quelconque des racines d'un des groupes, du premier par exemple,
changement qui laisse invariable $X_a$, cet échange laisse aussi
invariable chacune des autres quantités $X_{a+p}, \dotsc,
X_{a+\overline{n-1}p}$. Et il faut de plus qu'en changeant $x$ en
une quelconque des racines d'un autre groupe, du second par exemple,
les quantités $X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{a+\overline{n-1}p}$,
se changent respectivement en
$X_{a+p}, X_{a+2p}, \dotsc, X_a$, changement qui
laisse en effet invariable $\psi(x)$. En d'autres termes, il faut
nécessairement que les $n$ groupes du tableau~\tagref{C} soient \emph{inséparables}.

Or, en changeant par exemple $x$ en $\theta x$, les divers termes du
premier groupe ne font que se déplacer, et ceux du deuxième
deviennent
\[
  \theta_1 \theta x , \quad  \theta \theta_1 \theta x , \quad
  \theta^2  \theta_1 \theta x , \quad \ldots, \quad
  \theta^{n_1-1} \theta_1 \theta x\,;
\]
et comme ces derniers termes ne doivent aussi que se déplacer, on doit
avoir $\theta_1 \theta x = \theta \theta_1 x$.

Ainsi, si $m = nn_1$, les conditions énoncées dans le premier cas sont
nécessaires.

Démontrons actuellement qu'elles sont suffisantes. En effet, si elles
sont satisfaites, on a
$\theta_1 \theta x = \theta \theta_1 x$, et par conséquent
$\theta^2 \theta_1 x = \theta \theta_1 \theta x = \theta_1 \theta^2 x$,
$\theta^2 \theta_1 \theta x = \theta \theta \theta_1 \theta x =\penalty500
 \theta \theta_1 \theta^2 x = \theta_1 \theta^3 x$,  et ainsi de suite;
en sorte que le tableau~\tagref{C} devient
\[
\tag[D1]{D$_1$} \left\{ \begin{array}{lllll}
x  ,& \theta x   ,& \theta^2 x   ,& \ldots ,& \theta^{n_1-1} x\,,  \\
\theta_1 x  ,& \theta_1 \theta x   ,& \theta_1 \theta^2 x   ,& \ldots ,&
\theta_1 \theta^{n_1-1} x\,,  \\
\hdotsfor{5} \\
\theta_1^{n-1} x  ,& \theta_1^{n-1} \theta x   ,& \theta_1^{n-1}
\theta^2 x   ,& \ldots ,& \theta_1^{n-1} \theta^{n_1-1} x \,.
\end{array} \right.
\]
Et il est évidemment tel que ces $n$ groupes sont inséparables, et que
si par exemple le premier se change en le second pour un changement,
le second se changera en le troisième, le troisième en le quatrième,
 \dots, et le dernier en le premier, par suite du même changement. De
plus, si on échange entre elles deux racines quelconques d'un de ces
groupes, on voit que les termes de ce groupe ne font que se déplacer.
Donc, pour tout changement, ces groupes sont inséparables ou ne
produisent que des permutations circulaires. Mais tous ces changements
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font acquérir une même valeur à $y$ ou $\psi (x)$; donc $\psi (x)$ est
invariable quand on y remplace successivement $x$ par une quelconque
des $m$ racines de l'équation proposée, $f (x) = 0$. Admettons qu'on ait
effectué ces substitutions dans cette fonction comme $\psi (x)$ et qu'on
ait fait la somme, le résultat $\textsum \psi (x)$ sera une fonction symétrique
des racines de cette équation et par conséquent exprimable en fonction
rationnelle de ses coefficients; et on aura
\[
y = \frac{1}{m} \sum \psi (x)\,.
\]

La fonction résolvante $y$ étant connue pour la racine $\alpha$ de l'équation
binôme $x^n - 1 = 0$, on pourra déterminer, de la même manière,
sa valeur pour chacune des $n - 1$ autres racines de cette équation
binôme: et en extrayant la racine $n$\ieme{} de chacune de ces valeurs, on
aura $n$ équations linéaires par rapport aux $n$ quantités
$X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{a+\overline{n-1}p}$, analogues aux équations~\tagref{11}.

De ces $n$ équations nous déduirons ces $n$ inconnues; et, comme
dans le \hyperlink{TheoremVIII}{théorème~VIII}, nous pourrons former, avec chacune d'elles,
les $n$ équations dont les racines sont respectivement celles de chacun
des $n$ groupes du tableau précédent. Mais ces équations dernières
sont abéliennes; elles sont donc solubles par radicaux, \hyperlink{TheoremX}{théorème~X};
ce qui fera connaître les $m$ racines de l'équation proposée.

Donc enfin, quand $m = nn_1$, les conditions énoncées en premier
lieu sont nécessaires et suffisantes.

\begin{SECONDE}[hypothèse] Soit $m = nn_1$, et supposons que les $n_1$ racines
de chacune des $n$ équations, en lesquelles doit être décomposée l'équation
proposée et irréductible $F (x) = 0$ à l'aide des racines de deux
équations de degrés $n - 1$ et $s$, soient liées par une relation analogue
à~\tagref{17}. Il suffira, à cet effet, que l'on ait l'équation
\[
x_{a+p\rho,\; b} = \theta(x_{a+p,\; b},\quad x_{a,\; b})\tag{19}
\]
quelle que soit la valeur de $b$, dans laquelle $\rho$ désigne une racine
primitive de $n$. Car le symbole $x_{a,\; b}$ peut représenter les $nn_1$ racines
de $F (x) = 0$ d'après les hypothèses faites sur $a$ et $b$, $a$ prenant en
effet les valeurs $0, 1, 2, \dotsc, n_1 - 1$, et $b$ les valeurs $0, 1, 2, \dotsc,
n - 1$; les indices de $x$ étant d'ailleurs pris respectivement suivant
\PG-----------------------File: 057.png----------------------------
les modules $n_1$ et $n$. Nous appellerons racines \emph{conjuguées} les $n_1$
racines que produit l'équation~\tagref{19}, $x_{a+p, \; b}$ et $x_{a, \; b}$ comprises, en
changeant successivement $p$ en $p\rho, p\rho^2,\dotsc, p\rho^{n_1-2}$, et relatives à
l'une des $n$ valeurs de~$b$.
\end{SECONDE}

Cela posé, écrivons sur des lignes horizontales les racines conjuguées
de ces $n$ équations; on aura le tableau suivant, en observant
que les résidus à $n$ des $n$ valeurs de $b$ sont les mêmes, à la disposition
près, que ceux de $b, b + q, b + q\rho, \dotsc, b + q\rho^{n-2}$ par rapport à $n$,
$b$ étant un nombre entier quelconque inférieur à $n$,
\[
 \tag{E}
  \left\{
  \begin{array}{lllcl}
x_{a, \;  b}       &x_{a+p,\; b}   & x_{a+p\rho, \;  b}
        &\ldots& x_{a+p\rho^{n_1-2}, \;  b}\\
x_{a, \;  b+q}     &x_{a+p,\; b+q} & x_{a+p\rho, \;  b+q}
       &\ldots& x_{a+p\rho^{n_1-2}, \;  b+q}\\
x_{a, \;  b+q\rho} &x_{a+p,\; b+q\rho}   & x_{a+p\rho, \;  b+q\rho}
   &\ldots& x_{a+p\rho^{n_1-2}, \;  b+q\rho}\\
\hdotsfor{5}\\
x_{a, \;  b+q\rho^{n-2}} &x_{a+p, \;  b+q\rho^{n-2}} &x_{a+p\rho, \;  b+q\rho^{n-2}}
 &\ldots& x_{a+p\rho^{n_1-2}, \;  b+q\rho^{n-2}}\rlap{\,;}\\
  \end{array}
  \right.
\]
dans ce tableau le $\rho$ qui a pour coefficient $q$ désigne une des racines
primitives de~$n$.

Or, chacune des racines de l'équation $F (x) = 0$ a le même caractère,
celui de satisfaire à cette équation et qui seul doit servir à les
déterminer, puisqu'elle est irréductible: mais, par hypothèse, les
$nn_1$ racines de cette équation se partagent en $n$ groupes écrits en
ligne horizontale, et composés chacun de $n_1$ racines conjuguées;
chacun de ces groupes étant relatifs à une même valeur de l'indice $b$
et à des valeurs différentes de l'indice $a$. Donc, $n$ étant premier
comme $n_1$, tout ce qui est vrai pour les indices $b$ et $a$ doit être vrai
pour les indices $a$ et $b$; et par suite dans chaque colonne verticale
il doit y avoir, en intervertissant, s'il le faut, l'ordre des lignes
horizontales, des racines \emph{conjuguées} et en \emph{même} nombre: d'où
il suit que $n = n_1$ et par conséquent $m = n^2$. Et de plus on doit
avoir
\[
x_{a,\; b+q\rho} = \theta (x_{a,\; b+q},\quad x_{a,\; b})\,,\tag{20}
\]
relation analogue à~\tagref{19}; et toutes deux étant évidemment comprises
dans \tagref{18a} en n'y prenant que deux indices $a$ et $b$, et en y faisant
successivement $\beta = 0, \alpha = 1$ ; et $\beta = 1, \alpha = 0$.

Ainsi, dans le cas où le degré $m$ de $F (x) = 0$ est égal au produit
de deux facteurs premiers supérieurs à trois, il faut que, si les
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conditions énoncées en premier lieu ne sont pas satisfaites, celles
énoncées en deuxième lieu le soient.

Nous allons démontrer actuellement que ces dernières sont suffisantes.
Cherchons d'abord le degré $s$ de l'équation résolvante $\phi(y) = 0$:
ce degré est donné par la formule~\tagref{22}, quand les racines n'ont entre
elles aucune relation; mais dans le cas actuel, ce degré est moindre et
égal à l'unité, et la valeur unique de $y$ est une fonction symétrique des
racines de $F(x) = 0$.

En effet, chaque racine de $\phi(y) = 0$ décompose, à l'aide des
racines d'une équation auxiliaire de degré $n - 1$, \hyperlink{TheoremIX}{théorème~IX},
l'équation proposée $F(x) = 0$ en $n$ équations d'un même degré $n$,
dont les racines, pour chacune d'elles, sont \emph{conjuguées}. Il y aura
donc autant de valeurs de $y$ qu'il y a de manières de décomposer les
$n^2$ racines de $F(x) = 0$ en $n$ systèmes composés chacun de $n$ racines
conjuguées.

Pour effectuer ces décompositions, admettons que dans le tableau~\tagref{E}
$n_1 = n$, et que dans chacune des colonnes horizontales et verticales,
les racines soient écrites dans l'ordre où elles naissent des relations~\tagref{19}
et \tagref{20}, vraies par hypothèse. Écrivons d'abord ces $n^2$ racines, en les
prenant de gauche à droite dans le tableau~\tagref{E}, sur une circonférence
de cercle et à égales distances les unes des autres; et considérons le
polygone régulier qui est relatif à cette disposition, ainsi que ceux
qui s'en déduisent par le procédé de l'intervalle constant, au nombre
de $n(n-1)$. Nous avons démontré\footnote{\textit{Journal de Mathématiques}
 publié par M.~Liouville; théorème~I, février 1865.}
 que tous ces polygones, en ne
considérant d'abord que les idées d'ordre et de disposition, n'étaient
qu'un seul et même polygone, qu'un seul et même ordre; et que les
côtés de ces mêmes polygones, en faisant intervenir les idées de
grandeur, étaient donnés par une \emph{même} équation algébrique.

Il résulte donc de là que tous ces polygones jouissent des mêmes
propriétés; et que par conséquent chacun d'eux sera en général
composé, comme le premier, de $n$ systèmes de $n$ racines conjuguées
chacun. Mais, dans le cas actuel, deux racines d'un de ces systèmes
suffisent, \hyperlink{TheoremXIII}{théorème~XIII}, pour déterminer les $n-2$ autres; donc la
valeur de l'intervalle constant, qui amènera dans les $n$ premières
racines du polygone relatif à cette valeur deux quelconques des
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$n$ racines conjuguées d'une des colonnes horizontales ou verticales
du tableau~\tagref{E}, fournira un polygone qui ne sera pas composé de
$n$ systèmes formés chacun de $n$ racines conjuguées. Et les seuls
polygones, jouissant de cette propriété, seront ceux qui sont produits
par les valeurs de $h$ qui n'amèneront dans aucun des $n$ systèmes
deux quelconques des racines d'un des systèmes conjugués de ce
tableau~\tagref{E}.

Or, si l'on prend $h = n + 1$, c'est-à-dire si l'on saute, à partir
de $x_{a,\;b}$ de $n + 1$ en $n + 1$ dans le polygone primitif; on passera,
pour les $n$ premières racines, successivement sur une racine des 2\ieme,
3\ieme, $\dots$, $n$\ieme{} lignes horizontales de~\tagref{E}: il en est de même pour les
$n$ racines suivantes, ainsi que pour les autres considérées de $n$ en $n$.
Donc l'intervalle $h = n + 1$ produit un nouveau polygone formé,
comme le premier, de $n$ nouveaux systèmes de $n$ racines conjuguées
chacun.

Si généralement l'on prend $h=kn + 1$, $k$ étant un entier inférieur
à $n$ et si l'on observe que, $n$ étant premier, les résidus à $n$ de $k, 2k,
\dotsc, (n-1) k$ sont les nombres $1, 2, \dotsc, n-1$, dans un ordre
déterminé\footnote{En effet, $n$ étant premier, et $p$ étant inférieur
 à $n$, $pk$ n'est pas divisible par $n$; et si
les résidus à $n$ de $pk$ et de $p' k$ étaient égaux, la différence
 $k (p - p')$ serait un multiple de $n$;
ce qui est impossible, puisque $p'$ est aussi inférieur à $n$.};
avec cette valeur $h$ on passera également sur chacune
des $n$ lignes horizontales de~\tagref{E}, et on ne prendra qu'une racine de
chacune de ces lignes: il en sera de même pour les $n$ racines suivantes,
ainsi que pour les autres considérées de $n$ en $n$. Donc ce nouvel
intervalle produira un nouveau polygone formé, comme les deux
premiers, de $n$ nouveaux systèmes de $n$ racines conjuguées chacun.
Et comme ce résultat est vrai quelle que soit la valeur de $k$, il en
résulte, qu'avec cette disposition première des $n^2$ racines de $F(x) = 0$,
on obtient, le polygone primitif et correspondant à cette disposition
étant compris, $n$ systèmes différents formés chacun de $n$ racines
conjuguées.

Mais si l'on prend pour $h$ toute autre valeur, $2$ par exemple, on ne
passerait pas évidemment, pour les $n$ premières racines du polygone
correspondant à cette valeur, sur une racine de chacune des lignes
horizontales de~\tagref{E}; dans ces $n$ premières racines se trouveraient
nécessairement deux racines au moins d'une de ces lignes avec des
\PG-----------------------File: 060.png----------------------------
racines étrangères à cette même ligne; et dès lors ces $n$ racines ne
seraient pas conjuguées. Il en serait de même pour toute autre valeur
de $h$. On obtient donc seulement, avec cette première disposition,
$n$ systèmes différents composés chacun de $n$ racines conjuguées.

Écrivons actuellement les $n^2$ racines de~\tagref{E} en allant de haut en bas
et en commençant par la gauche, sur une circonférence de cercle; et
considérons le polygone qui est relatif à cette disposition nouvelle. Il
est, par hypothèse, formé de $n$ nouveaux systèmes de $n$ racines
conjuguées chacun; et si l'on forme les $n-1$ autres polygones qui
seuls, d'après ce qui précède, jouissent de la même propriété, on
trouve qu'ils ne produisent rien de nouveau. Car, dans les $n$ premières
racines de ces $n$ polygones, se trouvent nécessairement toutes les
racines de $F(x) = 0$: mais ces $n$ polygones se déduisent des $n$
premiers que nous avons obtenus en échangeant entre eux les indices
$a$ et $b$, donc cette nouvelle disposition ne produit qu'\emph{un} nouveau
polygone composé, comme les $n$ premiers, de $n$ systèmes de $n$ racines
conjuguées chacun. Donc enfin les $n^2$ racines de l'équation proposée,
se partagent seulement de $n+1  = (n^2 - 1): (n-1)$ manières
différentes en $n$ systèmes composés chacun de $n$ racines conjuguées.

Si l'on forme ces $n + 1$ décompositions, on obtient les $n + 1$
tableaux suivants:
%
\begin{align*}
\tag[E1]{E$_1$} &\left\{ \begin{array}{lllcl}
x_{a,\,b} & x_{a+p,\, b} & x_{a + p \rho,\, b}
 & \ldots& x_{a + p \rho^{n - 2},\, b} \\
x_{a,\,b+q} & x_{a+p,\, b+q} & x_{a + p \rho,\, b+q}
 & \ldots& x_{a + p \rho^{n - 2},\, b+q} \\
x_{a,\,b+q \rho} & x_{a+p,\, b+q \rho} & x_{a + p \rho,\, b+q \rho}
 & \ldots& x_{a + p \rho^{n - 2},\, b+q \rho} \\
\hdotsfor{5}\\
x_{a,\,b+q \rho^{n - 2}} & x_{a+p,\, b+q \rho^{n - 2}} & x_{a + p \rho,\, b+q \rho^{n - 2}}
 & \ldots& x_{a + p \rho^{n - 2},\, b+q \rho^{n - 2}}
\end{array} \right.\displaybreak[0]\\[6pt]
%
\tag[E2]{E$_2$} &\left\{ \begin{array}{lllcl}
x_{a,\,b} & x_{a+p,\, b+q} & x_{a + p \rho,\, b + q \rho}
 & \ldots& x_{a + p \rho^{n - 2},\, b + q \rho^{n-2}} \\
x_{a,\,b+q} & x_{a+p,\, b+q\rho} & x_{a + p \rho,\, b+q \rho^2}
 & \ldots& x_{a + p \rho^{n - 2},\, b} \\
x_{a,\,b+q \rho} & x_{a+p,\, b+q \rho^2} & x_{a + p \rho,\, b+q \rho^3}
 & \ldots& x_{a + p \rho^{n - 2},\, b+q} \\
\hdotsfor{5} \\
x_{a,\,b+q \rho^{n - 2}} & x_{a+p,\, b} & x_{a + p \rho,\, b+q}
 & \ldots& x_{a + p \rho^{n - 2},\, b+q \rho^{n - 3}}
\end{array} \right.\displaybreak[0]\\[6pt]
%
\tag[E3]{E$_3$} &\left\{ \begin{array}{lllcl}
x_{a,\,b} & x_{a+p,\, b+q \rho} & x_{a + p \rho,\, b + q \rho^3}
 & \ldots& x_{a + p \rho^{n - 2},\, b + q \rho^{n-3}} \\
x_{a,\,b+q} & x_{a+p,\, b+q \rho^2} & x_{a + p \rho,\, b+q \rho^4}
 & \ldots& x_{a + p \rho^{n - 2},\, b + q \rho^{n-2}} \\
\hdotsfor{5} \\
x_{a,\,b+q \rho^{n - 2}} & x_{a+p,\, b+q} & x_{a + p \rho,\, b+q \rho^2}
 & \ldots& x_{a + p \rho^{n - 2},\, b+q \rho^{n - 4}}
\end{array} \right.\\[6pt]
%
\intertext{\dotfill}
%
%\PG-----------------------File: 061.png----------------------------
%
\tag[En]{E$_n$} &\left\{ \begin{array}{lllcl}
x_{a,\,b} & x_{a + p,\, b + q \rho^{n-2}} & x_{a + p \rho,\, b + q \rho^{n -3}}
 & \ldots& x_{a + p \rho^{n -2},\, b+q} \\
x_{a,\,b + q} & x_{a + p,\, b } & x_{a + p \rho,\, b + q \rho^{n -2}}
 & \ldots& x_{a + p \rho^{n -2},\, b + q\rho} \\
\hdotsfor{5} \\
x_{a,\, b+ q \rho^{n -2}} & x_{a + p,\, b+ q \rho^{n-3}} & x_{a + p \rho,\, b+ q \rho^{n-4}}
 & \ldots& x_{a+p \rho^{n-2},\, b}
\end{array} \right.\displaybreak[0]\\[6pt]
%
\tag[En+1]{E$_{n+1}$} &\left\{ \begin{array}{lllcl}
x_{a,\,b} & x_{a,\, b + q} & x_{a,\, b + q \rho}
 & \ldots& x_{a,\, b+q \rho^{n -2}} \\
x_{a+p,\,b} & x_{a+p,\, b + q} & x_{a+p,\, b + q \rho}
 & \ldots& x_{a+p,\, b+q \rho^{n -2}} \\
x_{a+p \rho,\,b} & x_{a+p \rho,\, b + q} & x_{a+p \rho,\, b + q \rho}
 & \ldots& x_{a+p \rho,\, b+q \rho^{n -2}} \\
\hdotsfor{5} \\
x_{a+p \rho^{n-2},\,b} & x_{a+p \rho^{n-2},\, b + q} & x_{a+p \rho^{n-2},\, b + q \rho}
 & \ldots &x_{a+p \rho^{n-2},\, b+q \rho^{n -2}}
\end{array} \right.
\end{align*}

Il est utile de remarquer que, dans les $n$ premiers tableaux, les
racines contenues dans la première colonne verticale sont exactement
les mêmes; et que les racines contenues dans les autres colonnes
verticales sont respectivement les permutations \emph{circulaires} les unes
des autres.

Cela posé: pour former la fonction résolvante $y$, définie par l'équation~\tagref{11}
et relative à chacune de ces $n + 1$ décompositions, l'on doit
prendre pour chacune des quantités $X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{a + \overline{n - 1} p}$ $n$ racines
quelconques de l'équation proposée $F(x) = 0$. Or, si l'on prend
successivement pour $X_a$ la somme des racines de la première colonne
verticale des $n$ premiers tableaux et la somme de celles de la première
colonne horizontale du dernier, $X_a$ conservera une même valeur pour
ces $n + 1$ décompositions. De même, si l'on prend successivement
pour $X_{a+p}$ la somme des racines qui forment la deuxième colonne
verticale des n premiers tableaux et la somme de celles de la deuxième
colonne horizontale du dernier, $X_{a+p}$ conservera une même valeur
pour ces mêmes $n+1$ décompositions; et ainsi de suite. Enfin, si l'on
prend successivement pour $X_{a + \overline{n-1}p}$ la somme des racines de la
dernière colonne verticale des $n$ premiers tableaux et la somme de
celles de la dernière colonne horizontale du dernier, $X_{a + \overline{n-1}p}$ sera
également invariable pour ces mêmes $n + 1$ décompositions. Donc
les fonctions $Z_1, Z_2, \dotsc, Z_{n-1}$ et la fonction résolvante $y$ relatives à
chacune de ces $n + 1$ décompositions conservent une \emph{même} valeur
puisqu'elles ne sont formées que de ces $n$ quantités $X_a, X_{a+p}, \dotsc,
X_{a + \overline{n -1} p}$. Ainsi, quoiqu'il y ait $n+1$ décompositions, $y$ n'a cependant
qu'une \emph{seule} valeur, et par conséquent l'équation résolvante $\phi(y) = 0$
est du premier degré. Ce résultat pouvait d'ailleurs être prévu;
\PG-----------------------File: 062.png----------------------------
puisque, d'après ce qui a été démontré au \secundo du \hyperlink{TheoremIX}{théorème~IX},
l'équation résolvante $\phi(y) = 0$ est indécomposable.

Démontrons enfin que cette valeur unique de $y$ peut être exprimée
en fonction rationnelle des coefficients de l'équation proposée et de la
fonction connue $\theta$; et qu'à l'aide de cette valeur $y$ on peut obtenir ses
$n^2$ racines.

En effet, toutes ces racines et aussi la fonction $y$ peuvent d'abord
être exprimées en fonction rationnelle des $n$ racines
\[
x_{a,\,b},\quad x_{a+p,\,b+q},\quad x_{a+p,\,b+q\rho},\quad \ldots,\quad
 x_{ a+p,\,b+q\rho^{n-2} }
\]
qui évidemment ne sont pas conjuguées. Car la première colonne
horizontale des 2\ieme, 3\ieme, \dots, $n$\ieme{} tableaux donnent respectivement
\[
\arraycolsep=.25em
\begin{array}{lcllcll}
x_{a+p\rho,\,b+q\rho}       & =&\theta( x_{a+p,\,b+q}, & x_{a,\,b}),\qquad&&\ldots,\\
   \multicolumn{4}{r}{x_{a+p\rho^{n-2},\,b+q\rho^{n-2}} }&=&\theta(x_{a+p\rho^{n-3},\,b+q\rho^{n-3}},  & x_{a,\,b})\,,   \\
%
x_{a+p\rho,\,b+q\rho^2}     & =&\theta( x_{a+p,\,b+q\rho}, & x_{a,\,b}),\qquad&&\ldots,\\
  \multicolumn{4}{r}{x_{a+p\rho^{n-2},\,b+q\rho^{n-3}} }&=&\theta(x_{a+p\rho^{n-3},\,b+q\rho^{n-5}},  & x_{a,\,b})\,,   \\
%
\multicolumn{7}{l}{\qquad\dotfill\qquad\null}\\
%
x_{a+p\rho,\,b+q\rho^{n-3}}	& =&\theta( x_{a+p,\,b+q\rho^{n-2}}, & x_{a,\,b}),\qquad&&\ldots,\\
 \multicolumn{4}{r}{x_{a+p\rho^{n-2},\,b+q} } & =&\theta(x_{a+p\rho^{n-3},\,b+q\rho}, & x_{a,\,b})\,. % [** inserted comma between a and b in final subscript]
\end{array}
\]

Avec ces équations les $n^2$ racines de l'équation proposée $F(x) = 0$
peuvent être exprimées en fonction rationnelle de ces $n$ racines non
conjuguées, à l'exception des $n-1$ racines
\[
x_{a+p,\, b}, \quad x_{a+p\rho,\, b},\quad\ldots,\quad x_{a+p\rho^{n-2},\, b}\,, % [** inserted \rho in the last term ]
\]
et des $n-1$ autres
\[
x_{a,\, b+q}, \quad x_{a,\,b+q\rho},\quad\ldots,\quad x_{a,\, b+q\rho^{n-2}}, \quad x_{a+p,\, b}; % [** should the last term be omitted? there are $n$ terms here not $n-1$ ]
\]
mais chacune d'elles s'exprime rationnellement, en fonction de deux
de celles que nous venons de déterminer, les $n-1$ premières à
l'aide du tableau~\tagref[E1]{E$_1$}, les $n-1$ dernières à l'aide du tableau~\tagref[En+1]{E$_{n+1}$}.
Donc toute fonction rationnelle et connue de ces $n^2$ racines peut être
exprimée en fonction rationnelle des $n$ racines non conjuguées; et,
par suite, si l'on considère, non la fonction $y$ \tagref{11}, mais la fonction
plus générale,
\[
  y_1 = (Z_1 + \lambda_1 Z_2 + \lambda_1^2 Z_3 + \dotsb
             + \lambda_1^{n-2} Z_{n-1})^{n-1}
\]
dans laquelle $\lambda_1$ désigne l'une des racines de l'équation binôme
$ x^{n-1} - 1 = 0 $, fonction qui se réduit à $y$ pour $\lambda_1 = 1$ et quand on
en a extrait la racine $n-1$; on aura
\[
  y_1 = \pi\left( x_{a,\,b},\; x_{a+p,\,b+q},\; x_{a+p,\,b+q\rho},\;
\dotsc,\; x_{a+p,\,b+q\rho^{n-2}}\right)\,.
\]
\PG-----------------------File: 063.png----------------------------

Si l'on forme actuellement tous les arrangements $n$ à $n$ des $n^2$
racines de $F(x) = 0$, $n (n + 1)$ de ces arrangements seront composés
de $n$ racines conjuguées, et tous les autres de $n$ racines non conjuguées.
Mais si l'on remplace successivement dans $\pi$ les $n$ racines qui
s'y trouvent, d'abord par les $n (n + 1)$ premiers arrangements et
que l'on fasse la somme des résultats; puis par tous les autres et que
l'on fasse également la somme des résultats obtenus: on aura, en
désignant par $\textsum' \pi$ la première somme et par $\textsum'' \pi$ la seconde,
\[
\textstyle\sum' \pi + \sum'' \pi = w_1\,,
\]
$w_1$ étant évidemment une fonction symétrique des $n^2$ racines de
l'équation proposée $F(x) = 0$, et par suite exprimable en fonction
rationnelle des coefficients de cette équation et de ceux de la fonction
connue~$\theta$.

Mais, les $n$ racines qui entrent dans chaque terme de $\textsum' \pi$ sont
conjuguées, elles peuvent donc être réduites, à l'aide de la fonction
connue $\theta$, à deux racines $x_1$, $x_2$; et on aura $\pi = \pi_1 (x_1,x_2)$. Or les
quantités $Z_1, Z_2, \dotsc, Z_{n-1}$ sont invariables pour les $n (n + 1)$ systèmes
de racines conjuguées des $(n + 1)$ tableaux: de plus, ces mêmes
quantités sont encore invariables pour les $n$ valeurs $0,1, 2, \dotsc, n-1$
de l'indice $a$, et elles se déduisent les unes des autres en changeant
successivement $p$ en les $n-1$ valeurs $p, p \rho, p \rho^2, \dotsc, p \rho^{n-2}$, changements
qui n'altèrent pas la fonction $y_1$. Donc $\textsum' \pi = \textsum' \pi_1 (x_1, x_2)$
est invariable par les $n^2 (n^2 - 1)$ arrangements deux à deux des
$n^2$ racines de $F(x) = 0$, et par conséquent ce terme est symétrique
de ces racines et exprimable, par suite, en fonction rationnelle des
quantités connues.

De là, il suit que $\textsum'' \pi$ est aussi une fonction rationnelle et symétrique
des racines de $F(x) = 0$, et par conséquent exprimable également en
fonction rationnelle des quantités connues. Mais la fonction $Y_1$ n'a
qu'une seule valeur; donc l'égalité précédente donnera, $k$ désignant
le nombre de termes de $\textsum'' \pi$,
\[
y_1 = \frac{1}{k}\textstyle \left\{ w_1 - \sum' \pi_1 (x_1, x_2) \right\} = V_1\,,
\]
$V_1$ étant une fonction connue.
\PG-----------------------File: 064.png----------------------------

Si dans cette dernière équation on remplace successivement $\lambda_1$ par
chacune des $n-1$ racines de $x^{n-1} - 1 = 0$, on aura les $n-1$
équations
\[
\tag{21}
\left\{\def\arraycolsep{2pt} \begin{array}{rcrcrcrcl}
Z_1 &+& \lambda_1 Z_2 &+& \lambda_1^2 Z_3 &+ \dotsb +& \lambda_1^{n-2}Z_{n-1} &=& \sqrt[n-1]{v_1}\,, \\
Z_1 &+& \lambda_2 Z_2 &+& \lambda_2^2 Z_3 &+ \dotsb +& \lambda_2^{n-2}Z_{n-1} &=& \sqrt[n-1]{v_2}\,, \\
\hdotsfor{9}\\
Z_1 &+& \lambda_{n-1} Z_2 &+& \lambda_{n-1}^2 Z_3 &+ \dotsb +& \lambda_{n-1}^{n-2}Z_{n-1} &=& \sqrt[n-1]{v_{n-1}}\rlap{\,, }
\end{array} \right.
\]  %**[Are those '\nu's or 'v's? Or maybe '\upsilon's?] DCW: v's.
dont les seconds membres sont connus. De ces équations on déduira
les $n-1$ quantités $Z_1, Z_2, \dotsc, Z_{n-1}$ qui à leur tour fourniront, après
avoir extrait la racine $n$\ieme{} de chacune d'elles, $n-1$ équations formant
avec l'équation dont le second membre est connu,
\[
X_a + X_{a+p} + \dotsb + X_{a + \overline{n-1}p} = - A_1\,,
\]
un système de $n$ équations linéaires par rapport aux $n$ quantités $X_a,
X_{a+p}, \dotsc, X_{a+\overline{n-1}p}$. De ces équations nous déduirons ces $n$ quantités;
et, comme dans le \hyperlink{TheoremVIII}{théorème~VIII}, nous pourrons former avec
chacune d'elles les $n$ équations dont les racines sont toutes celles de
la proposée $F(x) = 0$: équations résolubles algébriquement, puisque
chacune d'elles rentre dans le théorème précédent.

Ces conditions sont donc suffisantes.

En réunissant ce résultat à celui de la première hypothèse, il est
donc prouvé que, si le degré $m$ de $F(x) = 0$ n'est composé que de
deux facteurs premiers supérieurs à~$3$, les conditions énoncées du
théorème à démontrer sont nécessaires et suffisantes.

\subsection[Deuxième cas général: m = n n\string\1371 n\string\1372.]{Deuxième cas général: $m = n n_1 n_2$.}

L'équation proposée $F(x) = 0$ n'étant pas abélienne et étant irréductible,
sa résolution dépend nécessairement, \hyperlink{TheoremVIII}{théorème~VIII}, de la
résolution de $n$ équations d'un même degré $n_1 \dotm n_2$, dont les $m$ racines
sont celles de la proposée; équations que l'on peut former avec les
coefficients de $F(x) = 0$ et avec les racines de deux autres équations,
l'une de degré $n-1$ et l'autre d'un degré déterminé $s$. Cette dernière
peut être formée directement avec les coefficients seuls de $F(x) = 0$,
\PG-----------------------File: 065.png----------------------------
et celle de degré $n-1$ avec ces mêmes coefficients et avec les racines
de l'équation de degré $s$. Mais le degré commun à ces $n$ équations,
$n_1\dotm n_2$, est égal au produit de deux facteurs premiers supérieurs à~$3$,
donc la résolution d'une quelconque de ces équations exige, 1\ier{} cas
général déjà expliqué, ou qu'elle soit abélienne, ou que les conditions
du \primo du théorème à démontrer soient satisfaites, ou enfin que ce soit
celles du \secundo du même théorème: de là deux hypothèses.


\begin{Premiere}[hypothèse] Si chacune de ces $n$ équations dont le
degré est $n_1\dotm n_2$ est abélienne, l'équation proposée ne l'étant pas, on
démontre, d'une manière absolument semblable à celle qui est relative
à la première hypothèse du 1\ier{} cas général, que les conditions
énoncées du \primo sont nécessaires. Il suffit, en effet, de remplacer $n_1$
par $n_1\dotm n_2$. Si chacune de ces $n$ équations, de degré $n_1\dotm n_2$, n'est pas
abélienne, ces mêmes conditions du \primo sont nécessaires par hypothèse.
Ainsi, dans l'un et l'autre cas, ces conditions sont nécessaires.
\end{Premiere}

Pour démontrer qu'elles sont suffisantes; il suffit, dans la démonstration
relative au 1\ier{} cas général, de mettre dans le tableau~\tagref[D1]{D$_1$}
$n_1 \dotm n_2$ à la place de $n_1$, si chacune des $n$ équations de degré $n_1\dotm n_2$ est
abélienne; et de substituer à chacun des groupes de ce même tableau,
un tableau analogue fait avec les facteurs $n_1$ et $n_2$, si les racines de
l'équation proposée jouissent de la propriété énoncée au \primo du théorème
à démontrer. Dans l'un et l'autre de ces deux cas, on obtient en effet
les $n$ équations, d'un même degré $n_1 \dotm n_2$; et ces dernières sont solubles
par suite de nos hypothèses, à l'aide du procédé de la première
hypothèse du 1\ier{} cas général.

Donc, quand $m = n\dotm n_1 \dotm n_2$ les conditions énoncées du \primo du
théorème à démontrer sont nécessaires et suffisantes dans cette
première hypothèse.

\begin{SECONDE}[hypothèse] Soit $m = n\dotm n_1 \dotm n_2$, et supposons que les
$n_1 \dotm n_2$ racines de chacune des $n$ équations, en lesquelles doit être
décomposée l'équation proposée, $F (x) = 0$, soient assujetties aux
conditions énoncées du \secundo du théorème à démontrer. Il suffira, à cet
effet, que l'on ait $n_1 = n_2$, c'est-à-dire $m = n\dotm n_1^2$, et que l'on ait la
relation
\[
x_{a + \alpha p, \; b+\beta q\rho, \; c}
 = \theta\ (x_{a+\alpha p, \; b+\beta q, \; c},\quad x_{a, \; b, \; c})\tag{22}
\]
\PG-----------------------File: 066.png----------------------------
quelles que soient les valeurs $0,1, 2, \dotsc, n-1$ de $c$ et les valeurs $0$
et $1$ de $\alpha$ et de $\beta$; $\theta$ désignant une fonction rationnelle, $\rho$ une des
racines primitives de $n_1$, et $x_{a,\;b,\;c}$ les $n n_1^2$ racines de $F(x) = 0$ avec
les hypothèses déjà faites sur $a, b, c$.
\end{SECONDE}

Cela posé: écrivons sur des lignes horizontales les racines de ces
$n$ équations, qui sont celles de la proposée; on aura le tableau suivant,
en observant que les résidus à $n$ des valeurs $0, 1, 2, \dotsc, n-1$ que
prend $c$ sont les mêmes, à la disposition près, que ceux de $c, c+r,
c + r \rho, \dotsc, c+ r \rho^{n-2}$; $c$ désignant un des nombres entiers inférieurs
à $n$, et $\rho$ une racine primitive de $n$;{\ifPaper\smaller
\def\arraycolsep{3pt}\else\def\arraycolsep{5pt}\fi
\[  \tag{F}
\left\{ \begin{array}{llclllclc}
x_{a\,,b\,,c} & x_{a+p,\, b,\, c} & \dots
 & x_{a + p \rho^{n_1-2},\,b,\,c} & x_{a,\,b+q,\,c} & x_{a+p,\, b+q,\, c}
 & \dots & x_{a,\,b+q \rho^{n_1 -2},\,c} & \dots\\
\multicolumn{9}{r}{\dots~ x_{a+ p \rho^{n_1 - 2},\, b + q \rho^{n_1 - 2},\, c}\,,} \\
x_{a,\,b,\,c+r} & \multicolumn{8}{l}{\dotfill~,}\\
x_{a,\,b,\,c+r\rho} & \multicolumn{8}{l}{\dotfill~,}\\
\multicolumn{9}{l}{\dotfill~,}\\
\multicolumn{9}{l}{x_{a,\,b,\,c+r\rho^{n-2}}\quad\dotfill~.}\\
\end{array} \right.
\]

}Dans ce tableau, les indices de $x$ relatifs aux deux premières lettres
$a$, $b$ sont les mêmes, terme à terme, dans chaque colonne verticale,
et ceux de $c$ sont respectivement $c, c + r, c + r \rho, \dotsc, c + r \rho^{n-2}$;
enfin chacune des lignes horizontales contient les $n_1^2$ racines d'une
des $n$ équations dont nous avons parlé, et elle est par conséquent
composée de $n_1$ systèmes formés chacun de $n_1$ racines \emph{conjuguées}.
Mais l'équation $F(x) = 0$ proposée étant irréductible, chacune de
ses racines est assujettie à la même loi de détermination, celle de
satisfaire identiquement à cette même équation; et puisque $n$ est
premier tout aussi bien que $n_1$, il s'ensuit que dans chaque colonne
verticale il doit y avoir, en intervertissant s'il le faut l'ordre des lignes
horizontales, des racines \emph{conjuguées} et en \emph{même} nombre. Il résulte
donc de là que $n = n_1$ et que, par suite, $m = n_1^3$, et de plus on doit
avoir
\[
\tag{23} x_{a,\;b,\;c+r \rho} = \theta (x_{a,\; b,\; c+r},\quad x_{a,\;b,\;c})\,,
\]
relation analogue à~\tagref{22}, et toutes deux étant évidemment comprises
dans \tagref{18a} en n'y prenant que trois indices $a$, $b$, $c$ et en y faisant
d'abord $\gamma = 0$, et puis $\alpha = \beta = 0$, $\gamma = 1$.

Ainsi, dans le cas où $m = n\dotm n_1\dotm n_2$, si les conditions énoncées du
\PG-----------------------File: 067.png----------------------------
\primo du théorème à démontrer ne sont pas satisfaites, celles du \secundo du
même théorème doivent l'être.

Nous allons actuellement démontrer que ces conditions dernières,
d'ailleurs nécessaires, sont suffisantes. Cherchons d'abord le degré $s$
de l'équation résolvante  $\phi(y) = 0$ de l'équation proposée $F(x) = 0$:
ce degré est déterminé par la formule de l'énoncé du \hyperlink{TheoremVIII}{théorème~VIII}
quand les racines n'ont entre elles aucune relation. Mais, dans le cas
actuel, ce degré est moindre et égal à l'unité; et la valeur unique
de $y$ est une fonction symétrique des racines de $F(x) = 0$.

En effet, chaque racine de la résolvante $\phi(y) = 0$ décompose, à l'aide
des racines d'une équation auxiliaire de degré $n-1$, \hyperlink{TheoremVIII}{théorème~VIII},
l'équation proposée $F(x) = 0$ en $n$ équations d'un même degré $n^2$
et dont les racines, pour chacune d'elles, constituent $n$ systèmes
de $n$ racines conjuguées chacun. Il y aura donc autant de valeurs de $y$
qu'il y aura de manières de décomposer les $n^3$ racines de $f(x)=0$
en $n$ systèmes composés chacun de $n^2$ racines qui forment $n$ systèmes
de $n$ racines conjuguées chacun.

Pour ces décompositions, admettons que dans le tableau~\tagref{F} $n_1 = n$
et que dans chaque ligne, soit horizontale, soit verticale, les racines
soient écrites dans l'ordre où elles naissent des relations~\tagref{22} et \tagref{23},
vraies par hypothèse. Écrivons \emph{d'abord} ces $n^3$ racines sur une circonférence
de cercle, à égales distances les unes des autres, en les prenant
dans le tableau~\tagref{F} de gauche à droite et ligne par ligne; et considérons
le polygone régulier qui est relatif à cette disposition. Ce polygone est,
par hypothèse, composé de $n^2$ systèmes de $n$ racines conjuguées
chacun; et on démontrerait, comme dans le 1\ier{} cas général, que ce
polygone produit de nouveaux polygones, jouissant de la même
propriété, en prenant pour intervalles constants les nombres qui
suivent et qui sont en progression arithmétique dont la raison est $n$:
\[
\begin{array}{rrrr}
1 & n^2 + 1 & \dots & (n - 1) n^2 + 1\,, \\
n + 1 & n^2 + n + 1 & \dots & (n - 1) n^2 + n + 1\,, \\
2n + 1 & n^2 + 2n + 1 & \dots & (n - 1) n^2 + 2n + 1\,, \\
\hdotsfor{4}\\
n(n-1) + 1 & n^2 + (n - 1)n + 1 & \dots & (n-1)n^2 + (n-1)n + 1\,.
\end{array}
\]

Ainsi, avec ce polygone on en fait $n^2$ composés chacun de $n^2$ systèmes
de $n$ racines conjuguées chacun.
\PG-----------------------File: 068.png----------------------------

Puis, si l'on écrit sur une circonférence les $n^2$ racines du tableau~\tagref{E},
en allant de gauche à droite et ligne par ligne; si l'on joint aux
deux indices $a$, $b$ un troisième $c$ auquel on donnera successivement
les valeurs $c, c + r, c + r\rho, \dotsc, c + r\rho^{n-2}$, on aura un nouveau
polygone composé par hypothèse, comme les précédents, de $n^2$
systèmes de $n$ racines conjuguées chacun. Or, si pour obtenir de
nouveaux polygones, par le procédé de l'intervalle constant, on prend
pour $h$ des termes en progression arithmétique dont la raison est $n$,
on ne trouve rien de nouveau: mais si la raison est $n^2$ on obtient
$n$ nouveaux polygones relatifs aux valeurs de $h$
\[
  1, \quad 1 + n^2, \quad 1 + 2n^2,\quad \dotsc, \quad 1 + (n-1)n^2\,,
\]
jouissant de la même propriété; tandis que toute autre valeur de $h$
ne produit pas de nouveaux polygones ayant cette même propriété.
On démontre ces résultats exactement de la même manière que dans
le cas de deux indices.

Enfin, en lisant le tableau~\tagref{F} de haut en bas, on obtient un
autre polygone composé également de $n^2$ systèmes de $n$ racines
conjuguées chacun; polygone qui n'en produit pas d'autres ayant la
même propriété. Car, dans les $n$ premières racines des $n^2 + n$
premiers polygones, se trouvent toutes les racines de l'équation donnée
$F(x)=0$; mais les polygones qu'on formerait avec cette troisième disposition
se déduisent des premiers en échangeant entre eux les indices
$a, b, c$, donc cette nouvelle disposition ne produit rien de nouveau.

Il résulte donc de ce qui précède que les $n^3$ racines de $F(x) = 0$
assujetties aux relations~\tagref{22} et \tagref{23} se partagent en $n^2$ systèmes de
$n$ racines conjuguées chacun en un nombre de manières déterminé
par la formule
\[
  n^2 + n + 1 = \frac{n^3 - 1}{n - 1}\,.
\]

Ces $\frac{n^3 - 1}{n - 1}$ décompositions produisent les tableaux suivants:
%
\begin{align*}
\tag[F1]{F$_1$}
&\left\{
 \begin{array}{llcl}
x_{a,\,b,\,c}     & x_{a+p,\,b,\,c}     &\ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,b,\,c}   \\
x_{a,\,b,\,c+r}   & x_{a+p,\,b,\,c+r}   &\ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,b,\,c+r}   \\
\hdotsfor{4}  \\
x_{a,\,b+q,\,c}   & x_{a+p,\,b+q,\,c}   &\ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,b+q,\,c}   \\
x_{a,\,b+q,\,c+r} & x_{a+p,\,b+q,\,c+r} &\ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,b+q,\,c+r}   \\
\hdotsfor{4}
  \end{array}
    \right.\\[6pt]
\intertext{\displaybreak[0]}% with the \displaybreak before the \\[6pt] above the array overlaps the lower page margin
%
%\PG-----------------------File: 069.png----------------------------
%
\tag[F2]{F$_2$}
&  \left\{
  \begin{array}{llcl}
x_{a,\,  b,\,  c}          & x_{a+p,\, b+q,\, c}              & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q\rho^{n-2},\, c}\\
x_{a,\,  b,\,  c+r}        & x_{a+p,\, b+q,\, c+r}            & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q\rho^{n-2},\, c+r}\\
\hdotsfor{4}  \\
x_{a,\,  b+q,\, c+r}       & x_{a+p,\, b+q\rho,\, c+r}        & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b,\, c+r\rho}\\
x_{a,\,  b+q,\, c+r\rho}   & x_{a+p,\, b+q\rho,\, c+r\rho}    & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b,\, c+r\rho^2}\\
\hdotsfor{4}
  \end{array}
    \right.\\[6pt]
\intertext{\displaybreak[0]}
%
\tag[F3]{F$_3$}
&  \left\{
  \begin{array}{llcl}
x_{a,\,  b,\, c}             & x_{a+p,\, b+q\rho,\, c}            & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q\rho^{n-3},\, c+r}\\
x_{a,\,  b,\, c+r}           & x_{a+p,\, b+q\rho,\, c+r}          & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q\rho^{n-3},\, c+r\rho^2}\\
\hdotsfor{4}  \\
x_{a,\,  b+q,\, c+r\rho}     & x_{a+p,\, b+q\rho^2,\, c+r\rho}    & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q\rho^{n-2},\, c+r\rho^2}\\
x_{a,\,  b+q,\, c+r\rho^2}   & x_{a+p,\, b+q\rho^2,\, c+r\rho^2}  & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q\rho^{n-2},\, c+r\rho^3}\\
\hdotsfor{4}
  \end{array}
    \right.\\[6pt]
\intertext{\dotfill}
%
\tag[Fn2]{F$_{n^2}$}
&  \left\{
  \begin{array}{llcl}
x_{a,\,  b,\, c}     & x_{a+p,\, b+q\rho^{n-2},\, c+r\rho^{n-2}}  & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q,\, c+r}\\
x_{a,\,  b,\, c+r}   & x_{a+p,\, b+q\rho^{n-2},\, c}              & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q,\, c+r\rho}\\
\hdotsfor{4}  \\
x_{a,\,  b+q,\, c}   & x_{a+p,\, b,\, c+r\rho^{n-2}}              & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q\rho,\, c+r}\\
x_{a,\,  b+q,\, c+r} & x_{a+p,\, b,\, c}                          & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q\rho,\, c+r\rho}\\
\hdotsfor{4}
  \end{array}
    \right.\\[6pt]
\intertext{\displaybreak[0]}
%
\tag[Fn2+1]{F$_{n^2+1}$}
&  \left\{
  \begin{array}{llcl}
x_{a,\,  b,\, c}     & x_{a+p,\, b,\, c}      & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b,\, c}\\
x_{a,\,  b,\, c+r}   & x_{a+p,\, b,\, c+r}    & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b,\, c+r}\\
\hdotsfor{4}  \\
x_{a,\,  b+q,\, c}   & x_{a+p,\, b+q,\, c}    & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q,\, c}\\
x_{a,\,  b+q,\, c+r} & x_{a+p,\, b+q,\, c+r}  & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q,\, c+r}\\
\hdotsfor{4}
  \end{array}
    \right.\\[6pt]
%
\intertext{\dotfill}
%
\tag[Fn2+n+1]{F$_{n^2+n+1}$} % [** this table seems identical to the previous one: is something stuffed?]
&  \left\{
  \begin{array}{llcl}
x_{a,\,  b,\, c}     & x_{a+p,\, b,\, c}      & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b,\, c}\\
x_{a,\,  b,\, c+r}   & x_{a+p,\, b,\, c+r}    & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b,\, c+r}\\
\hdotsfor{4}  \\
x_{a,\,  b+q,\, c}   & x_{a+p,\, b+q,\, c}    & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q,\, c}\\
x_{a,\,  b+q,\, c+r} & x_{a+p,\, b+q,\, c+r}  & \ldots& x_{a+p\rho^{n-2},\,  b+q,\, c+r}\\
\hdotsfor{4}
  \end{array}
    \right.\\
\end{align*}

Dans ces tableaux, \emph{ainsi écrits}, il est utile de faire les remarques
suivantes: \primo dans chacun de ces $n^2 + n + 1$ tableaux, il y a dans
chaque colonne verticale $n^2$ racines relatives à toutes les valeurs des
indices $b$, $c$ et à une même valeur de l'indice $a$; ces valeurs de $b$ et $c$
se déduisent les unes des autres, pour une même colonne verticale et
\PG-----------------------File: 070.png----------------------------
à partir de la 2\ieme, par des permutations circulaires relatives à $n$ termes
et à ces mêmes valeurs de $b$ et $c$; \secundo on passe d'une des colonnes
verticales à la suivante en changeant $p$ en $p\rho$, à partir de la deuxième,
qui elle-même se déduit de la première en changeant $a$ en $a + p$;
\tertio les $n$ racines de chaque ligne horizontale des $n^2$ premiers tableaux
sont conjuguées; \quarto dans chacun des $n$ suivants, les $n$ racines qui
occupent le même rang dans les $n$ groupes de chaque colonne verticale,
sont aussi conjuguées; \FrenchEnumerate5{} enfin les $n$ racines consécutives de
chacun des $n$ groupes contenus dans chaque colonne verticale du
dernier tableau sont également conjuguées. En sorte que les $n^3$ racines
de l'équation proposée $F (x) = 0$ forment $n^2 (n^2 + n + 1)$ systèmes
de $n$ racines conjuguées chacun.

Cela posé, pour former la fraction résolvante $y$ définie par l'équation~\tagref{11}
et relative à chacune de ces $n^2 + n + 1$ décompositions,
on doit prendre pour chacune des quantités $X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{a+\overline{n-1}p}$ la % [** inserted comma after dots]
somme de $n^2$ racines quelconques de $F (x) = 0$. Or, si l'on prend
successivement pour $X_a$ la somme des racines de la première colonne
verticale de chacun de ces tableaux~(F), cette quantité conservera % no link here because it refers to *all* the F tables
évidemment une même valeur pour toutes ces décompositions. Et il
résulte des deux premières remarques que si on prend successivement
pour $X_{a+p}$ la somme des $n^2$ racines de la deuxième colonne
verticale de ces mêmes tableaux, cette somme conservera également
une même valeur pour toutes ces décompositions; et ainsi de suite.
Enfin, si on prend successivement pour $X_{a+\overline{n-1}p}$ la somme des
$n^2$ racines de la dernière colonne verticale de ces mêmes tableaux,
cette quantité acquerra une même valeur pour ces mêmes décompositions.
Donc les fractions $Z_1, Z_2, \dotsc, Z_{n-1}$ et la fonction résolvante $y$,
qui ne sont formées que de ces quantités $X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{a+\overline{n-1}p}$,
sont invariables pour ces $n^2 + n + 1$ décompositions. Ainsi, quoiqu'il y
ait $n^2 + n + 1$ décompositions, $y$ n'a cependant qu'une
\emph{seule} valeur. Ce résultat pouvait d'ailleurs être prévu, puisque,
d'après ce qui a été démontré au \secundo du \hyperlink{TheoremIX}{théorème~IX}, l'équation
résolvante $\phi(y) = 0$ est indécomposable.

Démontrons enfin que cette valeur unique de $y$ peut être exprimée
en fonction rationnelle des coefficients de l'équation donnée $F (x) = 0$
et de ceux de la fonction connue $\theta$; et qu'avec cette valeur on peut
obtenir les $n^3$ racines de cette équation.
\PG-----------------------File: 071.png----------------------------

En effet, toutes ces racines, et par suite la fonction $y$, peuvent être
exprimées, comme dans le premier cas général, en fonction rationnelle
des $n$ racines
\[
x_{a,\,b,\,c},\quad x_{a+p,\, b+q,\, c},\quad x_{a+p,\, b+q \rho,\, c},\quad \ldots,\quad x_{a+p,\, b+q \rho^{n-2},\, c}
\]
qui évidemment ne sont pas conjuguées. Car, il résulte d'abord de ce
premier cas, que chacune des $n^2-n$ autres racines relatives à la
même valeur $c$ du troisième indice de $x$ peut être exprimée en fonction
de ces $n$ racines. Puis on voit que, tableaux~\tagref[F3]{F$_3$}, (F$_4$), \dots, on peut,
avec les racines relatives à $c$, obtenir celles qui sont relatives à $c + r$;
et, par suite, ces racines étant conjuguées par groupes de $n$, déterminer
toutes les racines relatives à $c + r \rho, c + r \rho^2, \dotsc, c+r \rho^{n-2}$.
Donc, toute fonction connue des $n^3$ racines de $F(x) = 0$ peut être
exprimée en fonction rationnelle des $n$ racines non conjuguées qui
précèdent. De là il suit que si l'on considère, non la fonction $y$, mais
la fonction plus générale
\[
y_1 = (Z_1 + \lambda_1 Z_2 + \lambda_1^2 Z_3 + \dotsb + \lambda_1^{n-2} Z_{n-1})^{n-1}\,,
\]
dans laquelle les quantités $X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{a + \overline{n-1}p}$ qui servent à
former $Z_1, Z_2, \dotsc, Z_{n-1}$ désignent précisément celles dont nous venons
de parler, et $\lambda_1$ une des racines de l'équation binôme $x^{n-1} - 1 = 0$;
fonction qui est égale à $y$ pour $\lambda_1 = 1$ après en avoir extrait la
racine $n-1$\ieme; on aura
\[
y_1 = \psi (x_{a,\, b,\, c},~ x_{a+p,\, b+q,\, c},~ x_{a+p,\,b+q \rho,\, c},
             ~\dotsc,~ x_{a+p,\, b+q \rho^{n-2},\,c})\,.
\]

Si l'on forme actuellement tous les arrangements $n$ à $n$ des $n^3$ racines
de $F(x) = 0$, $n^2\dotm \dfrac{n^3 -1}{n-1}$ de ces arrangements seront composés de
$n$ racines conjuguées, et tous les autres de $n$ racines non conjuguées.
Mais si l'on remplace successivement dans $\psi$ les $n$ racines qui s'y
trouvent, d'abord par les premiers arrangements et que l'on fasse la
somme des résultats, et puis par tous les autres, et que l'on fasse
également la somme des résultats obtenus, on aura, en désignant
par $\textsum' \psi$ la première somme et par $\textsum'' \psi$ la seconde,
\[
\textstyle\sum' \psi +  \sum'' \psi = W_1\,,
\]
$W_1$ étant une fonction évidemment symétrique par rapport aux
\PG-----------------------File: 072.png----------------------------
$n^3$ racines de $F (x) = 0$, et par conséquent exprimable en fonction
rationnelle des coefficients de cette équation.

Mais, les $n$ racines qui entrent dans $\textsum' \psi$ étant conjuguées, elles
peuvent être réduites à deux racines $x_1$, $x_2$; et on aura $\psi = \psi_1(x_1,x_2)$.
Or, les quantités $Z_1, Z_2, \dotsc, Z_{n-1}$ sont invariables pour les $n^2 \dotm \dfrac{n^3-1}{n-1}$
systèmes de racines conjuguées des tableaux précédents: de plus, ces
mêmes quantités sont encore invariables pour les $n$ valeurs
$0, 1, 2, \dotsc, n-1$ de $a$, et elles se déduisent les unes des autres en changeant $p$
successivement en les $n-1$ valeurs $p,p\rho, p\rho^2, \dotsc, p\rho^{n-2}$, changements
qui n'altèrent pas la fonction $y_1 $\footnote{Car les sommes $X_a,
X_{a+p}, \dotsc, X_{a+\overline{n-1}p}$ jouent évidemment, dans cette deuxième
hypothèse, le même rôle que celles qui sont désignées par les mêmes lettres dans la première.}.
Donc $\textsum'\psi= \textsum'\psi_1(x_1,x_2)$
est invariable pour les $n^2 \dotm \dfrac{n^3-1}{n-1} n (n-1) = n^3(n^3-1)$ arrangements
deux à deux des $n^3$ racines de $F (x) =0$; et, par suite, ce
terme est symétrique de ces racines et dès lors exprimable en fonction
rationnelle des quantités connues.

De là il suit aussi que $\textsum''\psi$ est exprimable en fonction rationnelle
des quantités connues; mais la fonction $y$, et évidemment aussi $y_1$,
ne prend qu'une valeur pour tous les arrangements $n$ à $n$ relatifs à
toutes les décompositions possibles de $F (x) = 0$ en équations de
degrés moindres, puisque l'équation résolvante $\phi(y)= 0$ est du
premier degré; donc l'égalité précédente donnera, $k'$ désignant le
nombre de termes de $\textsum''\psi$,
\[
  y_1 = \frac{1}{k'} \left \{ W_1 - \textstyle\sum'\psi_1(x_1,x_2) \right \}  = V_1\,,
\]
$V_1$ étant une fonction connue.

Si, dans cette dernière égalité, on remplace successivement $\lambda_1$ par
chacune des racines de $x^{n-1}-1 = 0$, on aura $n-1$ équations analogues
aux équations~\tagref{21}, dans lesquelles il suffira de remplacer $v$ par $V$,
et dont les seconds membres sont connus. De ces $n-1$ équations on
déduira les $n-1$ quantités $Z-1, Z_2, \dotsc, Z_{n-1}$, qui à leur tour fourniront,
après avoir extrait la racine $n$\ieme{} de chacune d'elles, $n-1$ équations
\PG-----------------------File: 073.png----------------------------
constituant avec l'équation dont le second membre est donné,
\[
  X_a + X_{a+p} + X_{a+2p} + \dotsb + X_{a + \overline{n-1}p} = - A_1\,,
\]
un système de $n$ équations linéaires par rapport aux $n$ quantités
$X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{a + \overline{n-1}p}$.

De ces $n$ équations nous déduirons ces $n$ quantités inconnues; et,
comme dans le 1\ier{} cas général, nous pourrons former avec chacune
d'elles les $n$ équations, de degré $n^2$, dont les racines sont toutes celles
de la proposée $F (x) = 0$. Enfin, ces dernières équations, rentrant
dans ce premier cas général, seront toutes résolubles algébriquement
par la méthode déjà indiquée: et on aura ainsi les $n^3$ racines de
l'équation à résoudre $F (x) = 0$.

Ces conditions sont donc suffisantes.

En réunissant ce dernier résultat à celui de la première hypothèse,
il est prouvé que si le degré $m$ de $F (x) = 0$ est composé de trois
facteurs premiers et supérieurs à~$3$, les conditions énoncées du théorème
à démontrer sont encore nécessaires et suffisantes.

La méthode d'exposition qui précède peut évidemment être étendue
au cas où le degré $m$ est égal au produit d'un nombre quelconque de
facteurs premiers et supérieurs à~$3$; on doit donc regarder ce théorème
\hyperlink{TheoremXIV}{général~XIV} comme démontré.

\begin{COROLLAIRE} Il résulte du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X} et de celui que
nous venons de démontrer que \emph{les seules équations algébriques, irréductibles
et dont le degré composé ne contient aucun des facteurs
premiers $2$ et $3$, qui soient solubles par radicaux, sont celles qui
sont abéliennes ou celles dont les racines satisfont aux conditions
du \primo ou du \secundo du \hyperlink{TheoremXIV}{théorème~XIV}.}
\end{COROLLAIRE}

\section{Cas particuliers non compris dans le théorème~XIV.}

Ces cas sont évidemment au nombre de 3 seulement: celui où le
degré $m$ de l'équation à résoudre $F (x) = 0$ est égal au facteur
premier $2$ élevé à une puissance entière quelconque, $m = 2^\alpha$; celui
où $m = 3^\beta$; et celui enfin où $m= 2^\alpha \dotm 3^\beta$, $\beta$ désignant un nombre
entier quelconque.

\PG-----------------------File: 074.png----------------------------
\subsection[Premier cas: m = 2\string\136alpha.]{Premier cas: $m = 2^\alpha$.}

Si $m = 2^2$, le \hyperlink{CorollaireVIII}{corollaire} du théorème~VIII\footnoteT{Original has
IX} démontre que $F(x) = 0$
est toujours soluble par radicaux, quelles que soient ses racines.

Si $m = 2^3$, ce théorème démontre, $n$ étant égal à~$2$, que la fonction
résolvante $y$ de $F (x) = 0$ est donnée par la formule~\tagref{13}, que le
degré de l'équation résolvante $\psi(y) = 0$ est égal à $35$, et qu'avec
l'une des racines de cette dernière on décompose l'équation proposée
$F (x) = 0$ en deux équations d'un même degré~$4$. Or, ces deux
dernières sont toujours résolubles algébriquement; donc pour que
l'équation $F (x) = 0$ soit elle-même résoluble, il faut et il suffit
que $\psi(y) = 0$ soit également résoluble algébriquement, ou du moins
décomposable en d'autres équations de degrés moindres, celles ci en
d'autres de degrés moindres, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on
parvienne à des équations résolubles.

Mais, dans le cas actuel, la formule~\tagref{13} donne
\[
  y = Z_1 = (X_a + \alpha X_{a+p})^2\,,
\]
les quantités $X_a$ et $X_{a+p}$ étant respectivement égales à la somme des
quatre racines de chacune des deux équations en lesquelles se décompose
l'équation proposée, se composent chacune de la somme de quatre
racines quelconques de $F (x) = 0$; et, puisque le degré de l'équation
résolvante est égal à $35$, le nombre total $40320$ de permutations des
$2^3$ racines de $F (x) = 0$ se décompose, \hyperlink{TheoremIII}{théorème~III}\footnote{Voir
notre Mémoire inséré dans le \textit{Journal de M.~Liouville}, février 1865.}, en $35$ groupes
composés chacun de $(1 \dotm 2 \dotm 3 \dotm 4)^2 \dotm 2= 1152$ permutations inséparables.
Or, dans le \hyperlink{TheoremIX}{théorème~IX}, les quantités désignées généralement par
$X_a, X_{a+p}, \dotsc, X_{a+(n-1)p}$ jouent le même rôle que les racines $x_a, x_{a+p}, \dotsc, x_{a+(n-1)p}$
dans le \hyperlink{TheoremII}{théorème~II}; donc les groupes de permutations
faites avec les racines et relatifs à l'équation résolvant $\phi (y) = 0$ étant
indécomposables, note du premier mémoire; les groupes de permutations
relatifs à l'équation résolvante $\psi(y) = 0$ de l'équation à
résoudre $F (x) = 0$ seront aussi \emph{indécomposables}.

Ainsi, dans le cas présent, les $35$ groupes relatifs aux racines de
$\psi(y) = 0$ sont indécomposables; donc, \hyperlink{TheoremV}{théorème~V}, cette équation
résolvante est indécomposable elle-même. Mais la résolution de la
proposée $F (x) = 0$ entraîne la résolution de $\phi(y) = 0$, donc les
\PG-----------------------File: 075.png----------------------------
racines de cette dernière doivent être égales entre elles; puisque toute
autre hypothèse la rendrait décomposable. Mais en échangeant entre
elles, soit les racines du groupe des 4 racines qui entrent dans $X_a$,
soit celles du groupe des 4 racines qui entrent dans $X_{a+p}$, soit enfin
le premier groupe tout entier en le second, la fonction résolvante $y$ ne
change pas de valeur; tandis que tout autre échange de ces 8 racines
altère cette fonction. Donc, l'équation résolvante devant avoir ses
racines égales entre elles, il est nécessaire que les racines, d'ailleurs
quelconques, d'un de ces deux groupes dépendent les unes des autres.
Or, ces racines étant au nombre de 4, il ne peut arriver que 3 cas;
l'une d'elles peut être en effet une fonction rationnelle d'une seule,
ou de deux, ou des trois autres.

Dans le 1\ier{} cas, un raisonnement analogue à celui qui a été fait
pour démontrer la première hypothèse du premier cas général ou la
deuxième hypothèse du second cas général du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}, prouverait
que ce 1\ier{} cas entraîne les conditions du \primo et du \secundo de ce théorème:
conditions qui d'ailleurs ont été démontrées suffisantes pour la résolution
de l'équation proposée $F (x) = 0$.

Dans le 2\ieme{} cas, on a par hypothèse, en désignant respectivement
les racines des deux groupes par
\[
  \begin{array}{llll}
a,    &b,    &c,    &d\,,\\
a',  &b',  &c',  &d'\,,\\
  \end{array}
\]
$c = \theta (b, a)$; et, par suite, $d = \theta_1 (b, a)$. En sorte que les quatre
racines du 1\ier{} groupe sont \emph{conjuguées}; il en est de même de celles
du second. On devrait donc avoir, dans chaque colonne verticale,
d'après ce qui a été démontré plusieurs fois, un groupe de 4 racines
conjuguées; ce qui ne peut être, puisque l'équation proposée étant
du 8\ieme{} degré, il n'y a que deux racines dans chacune de ces colonnes
verticales: ainsi, ce cas est inadmissible.

Par la même raison le troisième cas est également inadmissible.

Il résulte donc de ce qui précède que si $m = 2^3$, pour que l'équation
proposée $F (x) = 0$ soit résoluble algébriquement, il faut et il suffit
qu'elle soit abélienne ou que ses racines satisfassent aux conditions
du \secundo du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}.

Si on suppose actuellement $m = 2^4$; le \hyperlink{TheoremIX}{théorème~IX} démontre
que, $n$ étant égal à~$2$ et l'équation proposée $F (x) = 0$ étant irréductible,
\PG-----------------------File: 076.png----------------------------
cette équation doit être décomposée, pour sa résolution, en deux
équations résolubles du 8\ieme{} degré chacune. Mais, d'après ce qui vient
d'être démontré, la résolution de chacune de ces dernières équations
exige ou qu'elle soit abélienne ou que les racines de chacune d'elles
satisfassent aux conditions du \secundo du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}. Dans l'un et l'autre
de ces deux cas, on démontrerait absolument de la même manière que
l'équation proposée doit être abélienne ou que ses racines doivent
encore satisfaire aux conditions du \secundo du même théorème; et que ces
conditions nécessaires sont d'ailleurs suffisantes.

Donc, si $m = 2^4$, pour que l'équation irréductible $F(x) = 0$ soit
soluble par radicaux, il faut et il suffit qu'elle soit abélienne, ou que
ses racines satisfassent aux conditions du \secundo du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}.

De même que les conditions de résolubilité pour le cas où $m = 2^3$
donnent celles du cas où $m = 2^4$; de même ces dernières donneraient % [** the text clearly has "donneraieut" but is this a word?
celles où $m = 2^5$; et ainsi de suite. De là ce théorème:

\begin{Thm}[XV]
Pour qu'une équation algébrique irréductible et
de degré $2^\alpha$, $\alpha$ étant supérieur à~$2$, soit résoluble algébriquement,
il faut et il suffit qu'elle soit abélienne, ou que deux quelconques
de ses racines soient tellement liées entre elles que l'une puisse
s'exprimer rationnellement par l'autre; et que si $\theta x$ et $\theta_1 x$ désignent
deux de ses racines distinctes, exprimées l'une et l'autre
en fonction rationnelle d'une troisième $x$, on ait
\[
\theta \theta_1 x = \theta_1 \theta x\,.
\]
\end{Thm}

\subsection[Deuxième cas: m =3\string\136beta.]{Deuxième cas: $m =3^\beta$.}

Soit d'abord $m = 3^2$: le \hyperlink{TheoremIX}{théorème~IX} démontre, $n$ étant égal à~$3$,
que la fonction résolvante $Y$ de l'équation proposée~\tagref{1} à résoudre est
donnée par la formule~\tagref{13}, que le degré de son équation résolvante
$\psi (y) = 0$ est égal à $280$; et qu'avec l'une des racines de cette
dernière et celles d'une équation du second degré, on décompose
l'équation proposée en trois équations d'un même degré $3$. Or, ces
trois dernières sont toujours résolubles algébriquement, donc pour
que la proposée soit dans le même cas il faut et il suffit que $\psi (y) = 0$
soit elle-même résoluble algébriquement, ou du moins décomposable
en d'autres équations de degrés moindres, celles-ci en d'autres de
\PG-----------------------File: 077.png----------------------------
degrés moindres, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on parvienne à des
équations solubles.

Or il a été démontré généralement et par conséquent pour le cas
où $m= 3^2$ que l'équation $\psi (y) = 0$ est indécomposable, que ses
racines doivent être égales entre elles, et que l'égalité de ces racines
exige que les trois racines de la proposée, d'ailleurs quelconques, qui
entrent dans chacune des trois quantités, $X_a$, $X_{a+p}$, $X_{a+2p}$ relatives
à cette hypothèse $m = 3^2$, dépendent les unes des autres. Mais, le
nombre de ces racines étant ici égal à 3, il ne peut arriver que deux
cas; l'une d'elles peut être en effet une fonction d'une seule ou des
deux autres.

Dans le premier cas, on démontrerait, comme dans la première
hypothèse du deuxième cas général du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}, que cette supposition
entraîne les conditions du \primo ou du \secundo de ce théorème; conditions
qui d'ailleurs sont suffisantes pour la résolution de l'équation
proposée $F (x) = 0$, comme cela a été prouvé.

Dans le deuxième cas, on a par hypothèse, en conservant les
notations adoptées, la relation suivante entre les trois racines d'un
des trois groupes dont nous avons parlé,
\[
  x_{a+p \rho, \, b} = \theta (x_{a+p,\, b},\quad x_{a,\, b}) \, ;
\]
nous dirons que ces 3 racines sont \emph{conjuguées}. Cette équation étant
vraie pour chacun des 3 groupes, c'est-à-dire pour chacune des
valeurs $0$, $1$, $2$ de $b$, les 9 racines de $F (x) = 0$ se décomposent en
3 systèmes composés chacun de 3 racines conjuguées. Et on prouverait,
comme dans le \hyperlink{TheoremX}{théorème~X} relatif à deux indices, \primo que l'on doit
avoir encore
\[
  x_{a,\, b+q \rho} = \theta (x_{a,\, b + q},\quad x_{a,\, b})\, ,
\]
équation qui fournit 3 nouveaux systèmes composés chacun de 3 racines
conjuguées; \secundo que, par suite, les 9 racines de $F (x) = 0$ se
décomposent de 4 manières différentes en 3 systèmes composés chacun de
3 racines conjuguées; \tertio que la fonction résolvante $y$, et aussi que la
fonction plus générale
\[
  y_1 = (Z_1 + \lambda_1 Z_2)^2
\]
dans laquelle $\lambda_1$ est racine de l'équation binôme $x^2 - 1=0$, est une
\PG-----------------------File: 078.png----------------------------
fonction symétrique des racines de $F(x) = 0$, et dès lors exprimable
en fonction rationnelle des quantités connues; \quarto enfin, qu'avec les
deux valeurs de $y_1$, relatives aux deux racines de l'équation binôme,
on peut déterminer $Z_1$ et $Z_2$; quantités qui permettent d'obtenir les
3 équations, de degré $3$, en lesquelles se décompose $F(x) = 0$. Or,
ces 3 dernières équations sont résolubles algébriquement, il en est
donc de même de $F(x) = 0$. De là ce théorème: si $m = 3^2$, pour
que l'équation irréductible $f(x)=0$ soit soluble par radicaux, il faut
et il suffit que cette équation satisfasse une condition soit du \primo\kern-.3em, soit
du \secundo\kern-.3em, soit du \tertio du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}\footnote{La
 résolution de l'équation du 9\ieme{} degré a été trouvée, dans ce deuxième cas, par M.~Hesse
d'une manière très différente. (Voir le 34\ieme{} volume du \textit{Journal de Crelle}.)}.

Soit actuellement $m = 3^3$: dans ce cas, le \hyperlink{TheoremIX}{théorème~IX} décompose
l'équation proposée $F(x) = 0$ en 3 équations, de même degré $3^2$. Mais
chacune d'elles, devant être résoluble, doit satisfaire, nous venons de le
démontrer, aux conditions du \primo\kern-.3em, ou du \secundo\kern-.3em, ou du tertio du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}.

Si ces équations satisfont au \primo\kern-.3em, c'est-à-dire si elles sont abéliennes,
on prouve comme dans les cas analogues qui précèdent, que la fonction
résolvante $y$ doit être symétrique par rapport aux racines de $F(x) = 0$;
ce qui exige que les racines de cette dernière satisfassent aux conditions
du \primo ou du \secundo du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}. Et ces conditions nécessaires sont
d'ailleurs suffisantes pour résoudre la proposée, comme nous l'avons
démontré dans ce théorème.

Si les racines de chacune de ces 3 équations, de degré $9$, satisfont
aux conditions du \secundo du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}, $F(x) = 0$ est encore résoluble,
d'après ce qui vient d'être dit.

Enfin, si les racines de chacune de ces mêmes équations de degré $9$,
satisfont aux conditions du \tertio du même \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}, un raisonnement
analogue à celui qui a été fait dans le cas général où $m = n^3$ de ce
théorème, démontre que $F(x) = 0$ est encore résoluble.

Donc si $m = 3^3$, pour que l'équation irréductible $f(x) = 0$ soit
résoluble algébriquement, il faut et il suffit qu'elle soit abélienne ou
que ses racines satisfassent aux conditions du \secundo ou du \tertio du théorème
\hyperlink{TheoremX}{général~X}.

Ce raisonnement pouvant être généralisé sans qu'il soit nécessaire
d'entrer dans d'autres détails, on a ce théorème:
\PG-----------------------File: 079.png----------------------------

\begin{Thm}[XVI]
Pour qu'une équation algébrique, irréductible
et de degré $3^{\beta}$ soit résoluble algébriquement, il faut et il
suffit \primo qu'elle soit abélienne; \secundo ou que deux quelconques de ses
racines soient tellement liées entre elles que l'une puisse s'exprimer
rationnellement par l'autre; et que si $\theta x$ et $\theta_1 x$ désignent deux
de ses racines distinctes, exprimées l'une et l'autre en fonction
rationnelle d'une troisième $x$, on ait $\theta \theta_1 x = \theta_1 \theta x$; \tertio enfin ou
que l'on ait entre trois de ses racines la relation~\tagref{19} relative à
3 indices.
\end{Thm}

\subsection[Troisième cas: m = 2\string\136alpha \string\267 3\string\136beta.]{Troisième cas: $m = 2^\alpha \dotm 3^\beta$.}

Pour cette hypothèse nous prendrons $n = 2$ dans le \hyperlink{TheoremIX}{théorème~IX},
et nous décomposerons par conséquent l'équation irréductible à
résoudre $F(x) = 0$ en deux équations, d'un même degré $2^{\alpha-1} \dotm 3^{\beta}$,
à l'aide des racines $y$ de l'équation résolvante $\psi(y) = 0$; l'expression
générale de ces racines étant fournie par la formule~\tagref{13} qui se
réduit ici à
\[
y = Z_1 = (X_a + \alpha X_{a + p})^2\,.
\]

On prouverait, absolument comme dans le premier cas, que l'équation
résolvante $\psi (y) = 0$ est indécomposable, que ses racines doivent
être égales entre elles, et que cela exige que les racines de $F(x) = 0$
satisfassent aux conditions du \primo ou du \secundo du \hyperlink{TheoremX}{théorème~X}; conditions
qui d'ailleurs sont suffisantes. De là ce théorème:

\begin{Thm}[XVII]
Pour qu'une équation algébrique, irréductible
et de degré $2^\alpha \dotm 3^\beta$ soit résoluble algébriquement, il faut et il
suffit qu'elle soit abélienne; ou que deux quelconques de ses
racines soient tellement liées entre elles que l'une puisse s'exprimer
rationnellement par l'autre, et que si $\theta x$ et $\theta_1 x$ désignent deux
de ses racines distinctes, exprimées l'une et l'autre en fonction
rationnelle d'un troisième $x$, on ait
\[
\theta \theta_1 x = \theta_1 \theta x\,.
\]
\end{Thm}

\ThoughtBreak

%\PG-----------------------File: 080.png----------------------------
%[Blank Page]
\clearpage\ifPaper\else\squishy\fi % to fit the "FIN." on the page
\PG-----------------------File: 081.png----------------------------

\section{NOTE}

Les permutations, en effet, d'un quelconque de groupes de cette
classification sont relatives à \emph{un seul et même ordre}, c'est-à-dire à
\emph{un seul et même polygone}, vu successivement de chacun de ses
sommets; en sorte que tous ses groupes ne sont autre chose que \emph{tous}
les polygones distincts que l'on peut former avec $m$ lettres. Ces
polygones se déduisent les uns des autres par un changement de deux
lettres quelconques, leur déduction est donc arbitraire.

Donc si on les assemble de deux en deux ou de trois en trois, \dots,
pour former de nouveaux groupes composés de permutations \emph{inséparables},
il n'y a pas de raison pour que, dans ces nouveaux groupes,
l'on y mette plutôt tels de ces polygones que tels autres. Il faut donc,
ou les laisser séparés comme dans cette troisième classification, ou les
réunir tous en un seul groupe; auquel cas il n'y a pas à proprement
parler de classification, puisque ce groupe unique contient la totalité
des permutations des $m$ lettres.

Donc les groupes de cette troisième classification ne peuvent pas
être partagés en nouveaux groupes de permutations inséparables pour
tous les échanges des lettres qui les forment.

\begin{REMARQUE} Si le nombre des lettres est égal à~$3$, le nombre de
groupes de cette classification est égal à l'unité: pour tout autre
nombre de lettres, le nombre de groupes est supérieur à l'unité, et
même à ce nombre de lettres.
\end{REMARQUE}

\ifPaper
  \vspace{1in}
\else
  \vfill\nobreak
\fi
\centerline{\small FIN.}

\PG-----------------------File: 084.png----------------------------

\small
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\chapter*{A LA MÊME LIBRAIRIE}
\phantomsection
\addcontentsline{toc}{chapter}{Avertissement}
\pagestyle{chapter}

\begin{catalogue}
%
\item[Acta Mathematica.]--- Rédacteur en chef
    \textbf{M.~Mittag-Leffler}. --- Tomes~I à VIII; le vol \Dotfill 15~fr. \\
  Tome IX en cours de publication.
%
\item[American Journal of Mathematics.]--- Simon \textsc{Newcomb} and Th.~\textsc{Craig},
 editor. --- Tomes~II à VIII. --- Le vol \Dotfill 28~fr. \\
  Tome IX en cours de publication.
%
\item[Ch.~HERMITE,] de l'Institut. --- \textbf{Cours de la Faculté
    des sciences} \textit{sur les intégrales définies, la théorie des fonctions
    d'une variable imaginaire et les fonctions elliptiques}. --- 3\ieme{}
    édition, revue par \textsc{M.~Hermite}; in-\quarto\kern-.5em, lith., 1886 \Dotfill
    14~fr.
%
\item[DESPEYROUS.]--- \textbf{Cours de Mécanique rationnelle},
avec des notes par \textsc{M.G.~Darboux}, de l'Institut, professeur à la
Faculté des sciences.  --- 2~vol.\ gr.\ in-\octavo\kern-.5em, 1884--86, de près de
1,100 pages \Dotfill 22~fr.
%
\item[GRUEY,] professeur d'Astronomie et directeur de l'Observatoire de
Besançon --- \textbf{Leçons d'Astronomie rédigées conformément au programme de
la licence}. --- In-\quarto lith. 357 pages, 1885 \Dotfill 16~fr.
%
\item[AMPÈRE.]--- \textbf{Théorie mathématique des phénomènes
électrodynamiques uniquement déduite de l'expérience}. --- 2\ieme{} édition
conforme à la première, publiée en 1826.--- 2~planches gravées, 1883. \\
%
Tirage sur papier fort \Dotfill 5~fr. \\
%
Tirage sur papier de Hollande \Dotfill 7~fr.
%
\item[P.~DUHEM,] ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de % aspell suggests l'École but the scan is clearly l'Ecole; see below
l'Université --- \textbf{Le potentiel thermodynamique et ses applications
à la Mécanique chimique et à l'étude des phénomènes électriques}.
1 vol.\ gr.\ in-\octavo\kern-.5em, 1886, de près de 300 pages, imprimé en caractères
compacts  \Dotfill 10~fr.
%
\item[E.~CESARO,] de l'Université de Rome, correspondant de la
Société royale des sciences de Liège --- \textbf{Excursions arithmétiques à
l'infini}. --- In-\quarto de 120 pages, 1886 \Dotfill 5~fr.~50
%
\item[C.~RIQUIER,] agrégé et docteur ès-sciences --- \textbf{Extension à
l'hyperespace de la méthode de M.~Carl Neumann}, \textit{pour la résolution de
problèmes relatifs aux fonctions de variables réelles qui vérifient
l'équation différentielle $\Delta F = 0$}. --- In-\quarto\kern-.5em, 112 pages
compactes, 1886 \Dotfill 6~fr.
%
\item[J.~DESCHAMPS.]--- \textbf{Essai sur le postulatum
  d'Euclide}. --- 1 vol.\ in-\octavo\kern-.5em, 1885 \Dotfill 1~fr.~50
%
\item[H.-A.~ROWLAND.]--- Professor at the Johns Hopkins University,
Baltimore. --- \textbf{Photograph of the normal Solar Spectrum}. ---
1886. \\
%
The set of seven plates, unmounted \Dotfill 52~fr. \\
%
The set of seven plates, mounted on cloth \Dotfill 63~fr.
%
\item[THÉVENET,] docteur ès-sciences, professeur à l'École supérieure des % scan has l'École
sciences d'Alger --- \textbf{Etude analytique du déplacement infiniment % aspell suggests Étude but the scan is clearly Etude
petit d'un corps solide}. --- In-\quarto de 156 p., avec
figures. 1886. \Dotfill 6~fr.
%
\item[DESCARTES.]--- \textbf{Géométrie}. ---
Petit in-\quarto carré avec 32 figures gravées intercalées dans le
texte. --- 1886. \\
%
Tirage sur papier glacé \Dotfill 5~fr.\\
%
Tirage sur papier de Hollande \Dotfill 8~fr.
%
\item[J.~TANNERY,] sous-directeur des études scientifiques à
l'École normale supérieure --- \textbf{Introduction à la théorie des fonctions % aspell suggests l'École but the scan is clearly l'Ecole; see above
d'une variable}. --- 1~vol.\ gr.\ in-\octavo de 400 pages
compactes. --- 1886. \Dotfill 12~fr.
\end{catalogue}

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\ifPaper\cleartorecto\else\clearpage\fi
\def\rightmark{LICENSING}\let\leftmark\rightmark
\pagestyle{amsbook}
\setlength\parskip{0pt}\raggedbottom
\phantomsection
\addcontentsline{toc}{chapter}{Project Gutenberg Licensing Information}
\selectlanguage{english}
\hypertarget{PGlicence}{ }\par
\begin{verbatim}
End of the Project Gutenberg EBook of Mémoire sur les équations résolubles
algébriquement, by M. Despeyrous

*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS ***

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number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
information can be found at the Foundation's web site and official
page at http://pglaf.org

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org


Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
spread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United
States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
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particular state visit http://pglaf.org

While we cannot and do not solicit contributions from states where we
have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
against accepting unsolicited donations from donors in such states who
approach us with offers to donate.

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Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
ways including checks, online payments and credit card donations.
To donate, please visit: http://pglaf.org/donate


Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
works.

Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.


Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
keep eBooks in compliance with any particular paper edition.


Most people start at our Web site which has the main PG search facility:

     http://www.gutenberg.org

This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
\end{verbatim}
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% End of the Project Gutenberg EBook of Mémoire sur les équations résolubles
% algébriquement, by M. Despeyrous                                        %
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% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS ***   %
%                                                                         %
% ***** This file should be named 26118-t.tex or 26118-t.zip *****        %
% This and all associated files of various formats will be found in:      %
%         http://www.gutenberg.org/2/6/1/1/26118/                         %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}

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  ['\\begin\\{Defn\\}', 1, 1, 'Définitions--- ',''],
                         );

@ControlwordReplace = (
  ['\\dotsc', '...'],
  ['\\Dotfill', '...'],
  ['\\octavo', '8^o ']
                      );

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  $cline++
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This is pdfeTeX, Version 3.141592-1.30.5-2.2 (Web2C 7.5.5) (format=pdflatex 2008.5.6)  24 JUL 2008 07:40
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(./26118-t.tex
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LaTeX Info: Redefining \emph on input line 4903.
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LaTeX Info: Redefining \! on input line 8294.
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File: latin1.def 2004/02/05 v1.0d Input encoding file
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File: babel.def 2005/05/21 v3.8g Babel common definitions
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) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf
Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system

Package babel Warning: No hyphenation patterns were loaded for
(babel)                the language `French'
(babel)                I will use the patterns loaded for \language=0 instead.

\l@french = a dialect from \language0
Package babel Info: Making : an active character on input line 219.
Package babel Info: Making ; an active character on input line 220.
Package babel Info: Making ! an active character on input line 221.
Package babel Info: Making ? an active character on input line 222.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 299.
\parindentFFN=\dimen141
\std@mcc=\count129
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*************************************
* Local config file frenchb.cfg used
*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf/te
x/latex/lm/lmodern.sty
Package: lmodern 2005/02/28
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty
Package: fontenc 2004/02/22 v1.99f Standard LaTeX package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def
File: t1enc.def 2004/02/22 v1.99f Standard LaTeX file
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
))
LaTeX Info: Redefining \ttfamily on input line 195.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amsmath.sty
Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
\@mathmargin=\skip165
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amstext.sty
Package: amstext 2000/06/29 v2.01
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amsgen.sty
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
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Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
\pmbraise@=\dimen143
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Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
)
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LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
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LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
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LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
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LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
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LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
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(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/pdftex.def
File: pdftex.def 2005/06/20 v0.03m graphics/color for pdftex
\Gread@gobject=\count147
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File: pd1enc.def 2003/11/30 v6.74m Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
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File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
)
Package hyperref Info: Option `draft' set `true' on input line 1830.
Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 1830.
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 1880.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 1885.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 1888.
Package hyperref Info: Plain pages ON on input line 1893.
Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 1900.
Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2004.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
\Urlmuskip=\muskip11
Package: url 2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
)
LaTeX Info: Redefining \url on input line 2143.
\Fld@menulength=\count150
\Field@Width=\dimen154
\Fld@charsize=\dimen155
\Choice@toks=\toks34
\Field@toks=\toks35
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2618.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2623.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2626.
Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 2633.
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 2636.
\c@Item=\count151
)
*hyperref using default driver hpdftex*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
File: hpdftex.def 2003/11/30 v6.74m Hyperref driver for pdfTeX
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/pifont.sty
Package: pifont 2004/09/15 PSNFSS-v9.2 Pi font support (SPQR) 
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+pzd on input line 63.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/upzd.fd
File: upzd.fd 2001/06/04 font definitions for U/pzd.
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+psy on input line 64.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/upsy.fd
File: upsy.fd 2001/06/04 font definitions for U/psy.
))
\Fld@listcount=\count152
\@outlinefile=\write4
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/memoir/memhfixc.sty
Package: memhfixc 2004/05/13 v1.6 package fixes for memoir class
)

LaTeX Warning: You have requested, on input line 432, version
               `2005/11/15' of package memhfixc,
               but only version
               `2004/05/13 v1.6 package fixes for memoir class'
               is available.

Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 445
.
Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 445.
Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 445.
Package hyperref Info: Option `plainpages' set `false' on input line 451.
\wmbox=\box30
(./26118-t.aux)
\openout1 = `26118-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 561.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 561.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 561.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+lmr on input line 561.
(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd
File: t1lmr.fd 2006/04/24 v1.2 Font defs for Latin Modern
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 561.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 561.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 561.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 561.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 561.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 561.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 561.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 561.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 561.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 561.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 561.
\c@lofdepth=\count153
\c@lotdepth=\count154

Package frenchb.ldf Warning: The definition of \@makecaption has been changed,
(frenchb.ldf)                frenchb will NOT customize it;
(frenchb.ldf)                reported on input line 561.

LaTeX Info: Redefining \dots on input line 561.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/context/base/supp-pdf.tex (/usr/share/texmf-texli
ve/tex/context/base/supp-mis.tex
loading : Context Support Macros / Miscellaneous (2004.10.26)
\protectiondepth=\count155
\scratchcounter=\count156
\scratchtoks=\toks36
\scratchdimen=\dimen156
\scratchskip=\skip171
\scratchmuskip=\muskip12
\scratchbox=\box31
\scratchread=\read2
\scratchwrite=\write5
\zeropoint=\dimen157
\onepoint=\dimen158
\onebasepoint=\dimen159
\minusone=\count157
\thousandpoint=\dimen160
\onerealpoint=\dimen161
\emptytoks=\toks37
\nextbox=\box32
\nextdepth=\dimen162
\everyline=\toks38
\!!counta=\count158
\!!countb=\count159
\recursecounter=\count160
)
loading : Context Support Macros / PDF (2004.03.26)
\nofMPsegments=\count161
\nofMParguments=\count162
\MPscratchCnt=\count163
\MPscratchDim=\dimen163
\MPnumerator=\count164
\everyMPtoPDFconversion=\toks39
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
Package: color 1999/02/16 v1.0i Standard LaTeX Color (DPC)
LaTeX Info: Redefining \color on input line 71.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/config/color.cfg
File: color.cfg 2001/08/31 v1.1 color configuration of teTeX/TeXLive
)
Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 125.
)
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 561.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
Package: nameref 2003/12/03 v2.21 Cross-referencing by name of section
\c@section@level=\count165
)
LaTeX Info: Redefining \ref on input line 561.
LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 561.
(./26118-t.out) (./26118-t.out)
\openout4 = `26118-t.out'.

Redoing nameref's sectioning
Redoing nameref's label
LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+pcr on input line 568.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/t1pcr.fd
File: t1pcr.fd 2001/06/04 font definitions for T1/pcr.
) [1

{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2

] <images/decoration.pdf, id=158, 653.44125pt x 77.28876pt>
File: images/decoration.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/decoration.pdf> [1

 <./images/decoration.pdf>] [2] [1



] [2] [3] [4

]
Underfull \vbox (badness 2359) has occurred while \output is active []

[5] [6]
LaTeX Font Info:    Try loading font information for OMS+lmr on input line 983.

LaTeX Font Info:    No file OMSlmr.fd. on input line 983.

LaTeX Font Warning: Font shape `OMS/lmr/m/n' undefined
(Font)              using `OMS/cmsy/m/n' instead
(Font)              for symbol `textdagger' on input line 983.

[7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18

] [19] [20] [21] [22] [23]
Underfull \hbox (badness 1400) in paragraph at lines 1945--1947
[][]\T1/lmr/m/sc/10 Théorème IX[].---[]\T1/lmr/m/it/10 Il est im-pos-si-ble de 
ré-soudre al-gébrique-ment les équa-tions
 []

[24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39]
[40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55

] [56

] [57] [58

] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] (./26118-t.aux)

 *File List*
  memoir.cls    2005/09/25 v1.618 configurable document class
   mem10.clo    2002/07/27 v0.2 memoir class 10pt size option
mempatch.sty    2005/10/06 v4.1 Patches for memoir class v1.618
inputenc.sty    2004/02/05 v1.0d Input encoding file
  latin1.def    2004/02/05 v1.0d Input encoding file
   babel.sty    2005/05/21 v3.8g The Babel package
 english.ldf    2005/03/30 v3.3o English support from the babel system
 frenchb.ldf
 frenchb.cfg
 lmodern.sty    2005/02/28
 fontenc.sty
   t1enc.def    2004/02/22 v1.99f Standard LaTeX file
 amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
 amstext.sty    2000/06/29 v2.01
  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
  amsthm.sty    2004/08/06 v2.20
 perpage.sty    2002/12/20 v1.0 Reset counters per page
graphicx.sty    1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
graphics.sty    2001/07/07 v1.0n Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
    trig.sty    1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
graphics.cfg    2001/08/31 v1.1 graphics configuration of teTeX/TeXLive
  pdftex.def    2005/06/20 v0.03m graphics/color for pdftex
hyperref.sty    2003/11/30 v6.74m Hypertext links for LaTeX
  pd1enc.def    2003/11/30 v6.74m Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
hyperref.cfg    2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
     url.sty    2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
 hpdftex.def    2003/11/30 v6.74m Hyperref driver for pdfTeX
  pifont.sty    2004/09/15 PSNFSS-v9.2 Pi font support (SPQR) 
    upzd.fd    2001/06/04 font definitions for U/pzd.
    upsy.fd    2001/06/04 font definitions for U/psy.
memhfixc.sty    2004/05/13 v1.6 package fixes for memoir class
   t1lmr.fd    2006/04/24 v1.2 Font defs for Latin Modern
supp-pdf.tex
   color.sty    1999/02/16 v1.0i Standard LaTeX Color (DPC)
   color.cfg    2001/08/31 v1.1 color configuration of teTeX/TeXLive
 nameref.sty    2003/12/03 v2.21 Cross-referencing by name of section
 26118-t.out
 26118-t.out
   t1pcr.fd    2001/06/04 font definitions for T1/pcr.
images/decoration.pdf
 ***********


LaTeX Font Warning: Some font shapes were not available, defaults substituted.

 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 6859 strings out of 95148
 86930 string characters out of 1184452
 191354 words of memory out of 1000000
 9759 multiletter control sequences out of 10000+50000
 93449 words of font info for 61 fonts, out of 500000 for 2000
 73 hyphenation exceptions out of 8191
 26i,15n,38p,269b,447s stack positions out of 1500i,500n,5000p,200000b,5000s
PDF statistics:
 836 PDF objects out of 300000
 154 named destinations out of 131072
 294 words of extra memory for PDF output out of 10000
{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/lm/lm-ec.enc}</usr/share/texmf/fonts/type1/
public/lm/lmri9.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmbx9.pfb></usr/sha
re/texmf-texlive/fonts/type1/public/cmex/fmex7.pfb></usr/share/texmf/fonts/type
1/public/lm/lmri7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy9.pf
b></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr9.pfb></usr/share/texmf-t
exlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi9.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/p
ublic/cmex/fmex9.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr9.pfb></usr/sha
re/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr5.pfb></usr/share/texmf-texlive/font
s/type1/bluesky/cm/cmmi5.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/c
mr6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy5.pfb></usr/share/
texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/
type1/bluesky/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cme
x10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmbx10.pfb></usr/share/texmf-te
xlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bl
uesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi7.pfb></
usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texl
ive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blu
esky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmri10.pfb></usr/sha
re/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr5.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm
/lmr7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share
/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts
/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr6.pfb></
usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr8.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/pu
blic/lm/lmr10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmri8.pfb></usr/share
/texmf/fonts/type1/public/lm/lmcsc10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/l
m/lmr12.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmbx6.pfb></usr/share/texmf
/fonts/type1/public/lm/lmbx7.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmbx12
.pfb>{/usr/share/texmf-texlive/fonts/enc/dvips/base/8r.enc}</usr/share/texmf-te
xlive/fonts/type1/urw/courier/ucrr8a.pfb>
Output written on 26118-t.pdf (69 pages, 863039 bytes).
